Cornu-Spirale  (generalisiert)

Ersetzt man die krümmungsrelevanten Argumente der Sinus- und Cosinusfunktion in den Integralen der Gleichungen einer Klothoide (Cornu-Spirale) durch ein Polynom

so erhält man die polynomiale Cornu-Spirale [1]:

Die Krümmung dieser Spirale beträgt dann

Die polynomialen Cornu-Spiralen bilden eine eigene Klasse, bei denen die Krümmung κ ein Polynom der Bogenlänge ist; ihre Eigenschaften wurden in [2] untersucht.

 

Mithin ist die Einheitsklothoide mit p (t) = t² / 2 ein Spezialfall der polynomialen Cornu-Spirale. Einige Beispiele polynomialer Cornu-Spiralen zeigen die folgenden Abbildungen.

Falls in p (t) nur gerade Exponenten vorkommen, sind beide Äste der Cornu-Spirale punktsymmetrisch zum Ursprung (0 | 0); kommen nur ungerade Exponenten vor, so sind beide Äste achsensymmetrisch. Bei gemischt vorkommenden Exponenten liegt keine Symmetrie vor, die beiden Äste sind unterschiedlich geformt (vgl. mit obiger Galerie).


Im Folgenden soll der ästhetische Aspekt der generalisierten Cornu-Spirale im Vordergrund stehen.

 

Interessanterweise findet man z.B. bei schmiedeeisernen Toren, Fenstergittern, Geländern und Zäunen sehr oft Dekorationen, die den obigen Spiralen sehr ähnllich sind. Auf Grund ihrer Verschnörkelungen aber auch Symmetrie eignen sich polynomiale Cornu-Spiralen idealerweise zur Konstruktion von Ornamenten, bestehend aus w  Einzelspiralen.

 

Hierzu werden, ausgehend von einer Ursprungsspirale mit einem Startwinkel θ0 = 0, weitere Clones gebildet, die jeweils um einen Winkel 2π / w weitergedreht werden, d.h. es sind w  generalisierte Cornu-Spiralen zu berechnen:

Da bei hinreichender Auflösung die Berechnung der Integrale zeitintensiv ist - bei meinem derzeitigen PC (s. Tools) um die 10 Sekunden für eine einzige Spirale - habe ich die "alternative Parametrisierung" der Klothoide (s. unten bei Klothoide (Cornu-Spirale) für die polynomiale Cornu-Spirale adaptiert:

mit  i = 0, …, N-1  und  x0 = 0,  y0 = 0,  N = 5000.

 

Auf diese Weise liegt die Rechenzeit z.B. für ein Ornament aus 8 polynomialen Cornu-Sprialen unter einer (!)  Sekunde. Dies eröffnet einem die Möglichkeit, bei nahezu gleichzeitiger Anzeige des Ergebnisses, mit verschiedenen Polynomen und Werten für L zu experimentieren. Mit Hilfe des Parameters a (0 < a < 2) lassen sich die Spiralen nochmals auf schnelle Weise ändern, teils mit verblüffenden Ergebnissen.

 

Zum eigenen Experimentieren finden Sie im Download-Bereich eine Datei für den Graphing Calculator 3D.

Die folgende Galerie zeigt eine kleine Auswahl an Ornamenten, bestehend aus polynomialen Cornu-Spiralen. Die verwendeten Polynome und Parameter finden Sie in der Tabelle weiter unten auf der Seite.

Durch Klicken auf die Steuerelemente können Sie umschalten zwischen

•  Ornament in weiß    • Ornament aus eingefärbte Einzelspiralen.
Auch lohnt sich eine vergrößerte, detailreichere Ansicht durch Klicken auf das Symbol  .





Die schon unendliche Formenvielfalt der generalisierten Cornu-Spirale lässt sich nochmals erweitern, indem an Stelle des Polynoms eine beliebige stetig differenzierbare Funktion f  verwendet wird:

Auch hier kann die obige Parametrisierung anstelle der zeitintensiven Berechnung mit Integralen verwendet werden, indem p (t)  durch f (t)  ersetzt wird. Dazu im Folgenden einige Beispiele; die verwendeten Polynome und Parameter finden Sie in der Tabelle im Anschluss.




Ornamente aus Cornu-Spiralen - Tabelle der verwendeten Polynome / Funktionen und Parameter

Ornament Polynom p (t) w L+ L- a
 t3 / 3 - 4 t 4  5 1
 t3 / 3 - 4 t 4  5 0.585
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
Ornament Funktion f (t) w L+ L- a