Flächen mit Singularitäten

Bei den Flächen auf dieser Seite handelt es sich ausschließlich um algebraische Flächen. Dies sind Flächen in impliziter Darstellung, d.h. f (x, y, z) = 0 wobei f (x, y, z) jedoch ein Polynom ist:

 

f = a1 m1 + a2 m2 + … + ar mr      mit r ∊ {1, 2, 3, ...} und a1, a2, …, ar \ {0}

 

Hierbei ist mi ein Monom, d.h. es enthält nur Kombinationen aus Potenzen der Variablen x, y, z, wobei die Exponenten größer oder gleich 0 sind:

 

mi = xj yk zl    mit  j, k, l ∊ {0, 1, 2, 3, ...}

 

Unter dem Grad (engl. degree) eines Monoms m versteht man die Summe seiner Exponenten:

 

deg (m) = j + k + l,

 

der Grad d des Polynoms ist das Maximum der Grade der Monome:

 


Beispiele:

  • x² + y² + z² + 2 x y z – 1
    d = 3, da deg (
    x y z) = 1 + 1 + 1 = 3
    die Fläche mit f (x,y,z) = 0 nennt man Cubic
  • (x² + y² + z²)² + 8 x y z - 10 (x² +y² + z²) + 25
    d = 4, da die Auflösung der ersten Klammer ergibt:
    x4 + y4 + z4 + 2 x²y² + 2x²z² + 2y²z²
    die Fläche mit f (x,y,z) = 0 nennt man Quadric

Algebraische Flächen können "glatt" sein, wie z.B. Kugel, Zylinder und Torus (vgl. Implizite Flächen). Es existieren jedoch auch solche Flächen, bei denen sich Teile der Fläche in einer "Spitze" berühren, wie z.B. beim Kegel mit der Gleichung f (x, y, z) = x² + y² - z² = 0 im Punkt (0 | 0 |0):

oder es existieren mehrere solcher Spitzen, wie z.B. bei den folgenden beiden Flächen.

Caley Cubric (Endrass)

Caley Cubic (Endraß):

x² + y² + z² + 2 x y z – 1 = 0

 

4 Spitzen liegen auf einer Kugel mit Radius ½√2 in den Punkten
(0 |
½ | ½)       (½ | -½ | ½)
(
½ | ½ | -½)    (-½ | -½ | -½)

Quadric:

(x² + y² + z²)² + 8 x y z - 10 (x² +y² + z²) + 25 = 0

 

4 Spitzen in den Punkten
(0 |
√5 | 0)    (√5 | 0 | 0)   (0 | -√5 | 0)   (0 | 0 | -√5);

die 4 Teilflächen schmiegen sich an eine Kugel mit Radius √5 an.


Derartige Spitzen nennt man Singularitäten. Singularitäten können sehr unterschiedlich aussehen (insbesondere nicht unbedingt spitz, s. auch ganz unten) und tauchen in vielen anderen Gebieten der Mathematik, Physik, Technik und Natur auf.

 

Ein Punkt P (px | py | pz) einer algebraischen Fläche mit der Gleichung f (x, y, z) = 0 heißt Singularität, falls sowohl

als auch alle partiellen Ableitungen von f gleich Null sind:

Andernfalls heißt P glatt.

 

Während für jeden glatten Punkt einer algebraischen Fläche f eine Tangentialebene in diesem Punkt existiert, da der Gradient für f in diesem Punkt ungleich (0, 0, 0) ist,  ist dies bei einer Singularität im Punkt P nicht der Fall, da ja für den Gradient im Punkt P gilt:


Flächen mit A1-Singularitäten ("nodes")

Die Singularitäten der obigen Beispiele sind die einfachsten Singularitäten und heißen gewöhnliche Doppelpunkte (engl. nodes) bzw. A1-Singularität. Eine solcher gewöhnlicher Doppelpunkt P hat unter allen Singularitäten die besondere Eigenschaft, dass die Determinate der Hessematrix im Punkt P nicht verschwindet (also ungleich 0 ist):

 

 

Für die obige Quadrik ergibt sich z.B. für den Punkt (0 | √5 | 0) folgender Nachweis:

 

daraus folgt: Singularität im Punkt (0 | √5 | 0)

daraus folgt: (0 | √5 | 0) ist ein gewöhnlicher Doppelpunkt

 

 

Eine Frage in der Grundlagenforschung auf dem Gebiet der algebraischen Geometrie ist, wie viele Singularitäten eine algebraische Fläche vom Grad d maximal besitzen kann; diese Größe wird als µ(d) bezeichnet.

 

Für eine Ebene (d = 1) ist µ(d) = 0, für den Kegel (d = 2) ist µ(d) = 1. Für d = 3 ... 6 konnte µ(d) eindeutig bestimmt und entsprechende Flächen konstruiert werden:

 

Grad Fläche µ (d)
3

Caley Cubic

•  1863  -  Ludwig Schläfli:  Beweis, dass µ (3) = 4

4
4

Kummer Quartic

•  1875  -  Eduard Kummer:  Beweis, dass µ (4) = 16

16
5

Togliatti Quintic

•  1937  -  E. Giuseppe Togliatti:  Beweis der Existenz  der Quintic

•  1980  -  Arnaud Beauville:   Beweis, dass µ (5) = 31 

•  1990  -  Konstruktion durch Wolf Barth

31
6

Barth Sextic

•  1996 -  Konstruktion durch Wolf Barth

•  1997 -  Beweis, dass µ (6) = 65

65

Für d 7 wurden keine eindeutigen Werte für µ (d) gefunden, es wurden aber untere und obere Schranken für µ(d) nachgewiesen. Für die in den letzten drei Dekaden konstruierten Flächen in folgender Tabelle ist µ (d) gleich der unteren Schranke, die obere Schranke wurde nicht erreicht, und es ist auch noch nicht bekannt, ob sie je erreicht wird.

 

Die Konstruktion einer Fläche vom Grad d 7 mit der bislang größten Anzahl an Singularitäten stellt quasi einen Weltrekord dar; solch eine Fläche wird daher auch als "Weltrekordfläche" bezeichnet.

 

Zeit Grad d µ (d)  Fläche µ (d) 
2004 7 99

Labs Septic (Oliver Labs)

104
1995 8 168

Endrass Octic (Stefan Endraß)

174
2014 9 216 Escudero Nonic (Juan Escudero)
(220 nodes)
246
1996 10 345 Barth Decic (Wolf Barth) 360
  11 425   480
2006 12 600 Sarti Dodecic (Allessandra Sarti)
645

In der obigen Tabelle ist µ (d) die maximal mögliche Anzahl komplexer Singularitäten einer algebraischen Fläche, wobei das zugrunde liegende Polynom auch komplexe Koeffizienten ai (vgl. ganz oben auf der Seite) haben darf. Es stellte sich aber heraus, dass in keinem der in der Tabelle aufgeführten Fälle eine bessere obere oder untere Schranke für eine reelle Variante µ (d) bekannt ist, so dass dort nicht weiter zwischen µ (d) und µ (d) unterschieden wird. Insbesondere haben alle Flächen, die die in der Tabelle angegebenen unteren Schranken realisieren, ausschließlich reelle Singularitäten, so dass diese visualisiert werden können (s. folgende Galerie).


Flächen mit A1-Singularitäten - Galerie

Caley Cubic

Caley Cubic

Caley Cubic (Hunt)

Caley Cubic (Endraß)

Caley Cubic (Endraß)


Nordstrand Quartic

Kummer Quartic

Togliatti Quintic (Barth)


Togliatti Quintic

Barth Sextic

Sarti Sextic

Sarti Sextic (48 nodes)


Sarti Sextic Variante (48 nodes)

Labs Septic

Heider Septic


van Straten Septic

Breske Septic

Endrass Octic


Endrass Octic Variante

Chmutov Octic (144 nodes)

Sarti Octic (72 nodes)


Sarti Octic (144 nodes)

Breske Nonic (216 nodes)

Escudero Nonic (220 nodes)


Barth Decic

Sarti Dodecic

Escudero Dodecic (581 nodes)


Escudero Quindecic (1182 nodes)



Flächen mit A2-Singularitäten ("cusps")

Ein weiterer Typ einer Singularität ist die sog. A2-Sigularität (engl. cusp, was soviel wie "Höcker" bedeutet). Im folgenden linken Bild ist eine solche Singularität mit dem definierenden Polynom -x² + y² + z³ = 0 im Punkt
(0 | 0 | 0) zu sehen.

A2 Singularität
x ²-y³=0

Legt man durch die Fläche einen Schnitt mit y = 0, so ergibt sich die orangene algebraische Kurve zu
x² - y³ = 0 im rechten Bild mit einer Singularität in (0 | 0).

 

Wie auch bei den A1-Singularitäten gilt hier (vgl. oben)

jedoch ist im Gegensatz zu diesen bei A2-Singularitäten die Determinante der Hesse-Matrix im Punkt der Singularität gleich 0:

Das folgende Beispiel ist eine Abwandlung der Caley Cubic (s.o.) mit dem definierenden Polynom

und drei Cusps an den Stellen (-1 | 0 | 0), (½ | 1 | 0) und (-½ | 1 | 0).

Caley Cubic mit 3 A2 Singularitäten

So ergibt sich z.B. für den Punkt (-1 | 0 | 0) folgender Nachweis einer A2-Singularität:

daraus folgt: (-1 | 0 | 0) ist eine A2-Singularität (cusp)

 

Die folgenden beiden Flächen stellen auch "Weltrekorde" dar. Oliver Labs konstruierte in 2005 eine Quintic mit 15 cusps (es ist nachgewiesen, dass eine Quintic maximal 20 cusps haben kann), Wolf Barth konstruierte eine Sextic mit 30 cusps (36 komplexe cusps). 

Labs Quintic (15 cusps)

Barth Sextic (30 relle cusps)



Flächen mit Singularitäten - Tabelle der Funktionen und Parameter

Fläche Funktion x y z

 Caley Cubic

x^3+y^3+z^3+1-0.25*(x+y+z+1)^3 = 0

 

x^2+y^2+z^2<=16

 -4

...

 

4

 -4

...

 

4

 -4

...

 

4

Caley Cubic
(Hunt)

-5*(x^2*y+x^2*z+y^2*x+y^2*z+z^2*y+z^2*x)+2*(x*y+x*z+y*z) = 0

-1

...

 

1

-1

...

 

1

-1

...

 

1

Caley Cubic
(Endraß)

4 (x^2+y^2+z^2) + 16 x y z - 1 = 0

 

x^2+y^2+z^2<=6.25

-2.5

...

 

2.5

-2.5

...

 

2.5

-2.5

...

 

2.5

Nordstrand Quartic

(11 nodes)

25(x^3(y+z)+y^3(x+z)+z^3(x+y))+50(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)-125(x^2*y*z+y^2*x*z+z^2*x*y)+

60x*y*z-4(x*y+x*z+y*z)

 

x^2+y^2+z^2<=4

 -2

...

 

2

 -2

...

 

2

 -2

...

 

2

Kummer Quartic

a=0.5

s=√2

(x^2+y^2+z^2-2.25)^2-5.75/0.75*(1-z-s*x)*(1-z+s*x)*(1+z+s*y)*(1+z-s*y) = 0

 

x^2+y^2+z^2<=4

 -4

...

 

4

 -4

...

 

4

 -4

...

 

4

Togliatti Quintic

(Barth)

a=-(8/5)*(1+1/(√5))*sqrt(5-√5)

b= (1/4)*(1+3*√5)

c=(1/2)*sqrt(5-√5)

a*(x-z)*(cos((2*pi)/5)*x-sin((2*pi)/5)*y-z)*(cos((4*pi)/5)*x-sin((4*pi)/5)*y-z)*(cos((6*pi)/5)*x-sin((6*pi)/5)*y-z)*(cos((8*pi)/5)*x-sin((8*pi)/5)*y-z)+(1-c*z)*(x^2+y^2-1+b*z^2)^2 = 0

 

x^2+y^2+z^2<=16

 -4

...

 

4

 -4

...

 

4

 -4

...

 

4

Togliatti Quintic

w=1

64*(x-w)*(x^4-4*w*x^3-10*x^2*y^2-4*x^2*w^2+16*w^3*x-20*w*x*y^2+5*y^4+16*w^4-20*y^2*w^2)-5*√(5-√5)*(2*z-√(5-√5)*w)*(4*(x^2+y^2-z^2)+(1+3*√5)*w^2)^2 = 0

 

x^2+y^2+z^2<=64

 -8

...

 

8

 -8

...

 

8

 -8

...

 

8

Barth Sextic

p= (1+√5)/2

q=p^2

4*(q*x^2-y^2)*(q*y^2-z^2)*(q*z^2-x^2)-(1+2*p)*(x^2+y^2+z^2-1)^2 = 0

 

x^2+y^2+z^2<=5

-2

...

 

2

-2

...

 

2

-2

...

 

2

Sarti Sextic

 

w=1

x^6+y^6+z^6+w^6+15(x^2*y^2*z^2+x^2*y^2*w^2)+15(x^2*z^2*w^2+y^2*z^2*w^2)-7/12(x^2+y^2+z^2+w^2)^3 = 0

 

x^2+y^2+z^2<=16

 

Variante 2:

x^6+y^6+z^6+w^6+15(x^2*y^2*z^2+x^2*y^2*w^2)+15(x^2*z^2*w^2+y^2*z^2*w^2)-2/3(x^2+y^2+z^2+w^2)^3 = 0

 -4

...

 

4

 -4

...

 

4

 -4

...

 

4

Labs Septic

 

b= - 0.140106854987124776454220549858

x^7-21*x^5*y^2+35*x^3*y^4-7*x*y^6+7*x^6+21*x^4*y^2+21*x^2*y^4+7*y^6-57*x^4-114*x^2*y^2-57*y^4+(24/7*b^2+768/49*b+800/7)*x^2+(24/7*b^2+768/49*b+800/7)*y^2+(-149808/2401*b^2+3216/343*b-147584/2401)+(-49*b^2+7*b-52)*x^4*z+(-98*b^2+14*b-104)*x^2*y^2*z+(-49*b^2+7*b-52)*y^4*z+(128/7*b^2+704/49*b+128/7)*x^2*z+(128/7*b^2+704/49*b+128/7)*y^2*z+(-1632/343*b^2+16/7*b-192/343)*z+(-98*b^2+14*b-101)*x^4*z^2+(-196*b^2+28*b-202)*x^2*y^2*z^2+(-98*b^2+14*b-101)*y^4*z^2+(3016/7*b^2-2904/49*b+440)*x^2*z^2+(3016/7*b^2-2904/49*b+440)*y^2*z^2+(-17440/343*b^2+416/49*b-17040/343)*z^2+(-49*b^2+7*b-50)*x^4*z^3+(-98*b^2+14*b-100)*x^2*y^2*z^3+(-49*b^2+7*b-50)*y^4*z^3+(5776/7*b^2-5648/49*b+5888/7)*x^2*z^3+(5776/7*b^2-5648/49*b+5888/7)*y^2*z^3+(-313136/343*b^2+6288/49*b-319264/343)*z^3+(3680/7*b^2-3608/49*b+536)*x^2*z^4+(3680/7*b^2-3608/49*b+536)*y^2*z^4+(-592240/343*b^2+11856/49*b-603856/343)*z^4+(816/7*b^2-800/49*b+832/7)*x^2*z^5+(816/7*b^2-800/49*b+832/7)*y^2*z^5+(-458832/343*b^2+1312/7*b-467840/343)*z^5+(-166272/343*b^2+3328/49*b-169536/343)*z^6+(-166272/2401*b^2+3328/343*b-169536/2401)*z^7 = 0

 

x^2+y^2+z^2<=64

 -8

...

 

8

  -8

...

 

8

  -8

...

 

8

Heider Septic

(x*0.8358-(z-0.5)*0.549)*(x*cos(2*pi/7)*0.8358-y*sin(2*pi/7)*0.8358-(z-0.5)*0.549)*(x*cos(4*pi/7)*0.8358-y*sin(4*pi/7)*0.8358-(z-0.5)*0.549)*(x*cos(6*pi/7)*0.8358-y*sin(6*pi/7)*0.8358-(z-0.5)*0.549)*(x*cos(8*pi/7)*0.8358-y*sin(8*pi/7)*0.8358-(z-0.5)*0.549)*(x*cos(10*pi/7)*0.8358-y*sin(10*pi/7)*0.8358-(z-0.5)*0.549)*(x*cos(12*pi/7)*0.8358-y*sin(12*pi/7)*0.8358-(z-0.5)*0.549)-(x^2+y^2-4.731)^2

 

x^2+y^2+z^2<=49

-7

...

 

7

-7

...

 

7

-7

...

 

7

van Straten Septic

0.99*(64*(0.5*z)^7-112*(0.5*z)^5+56*(0.5*z)^3-7*(0.5*z)-1)+(0.7818314825-0.3765101982*y-0.7818314825*x)*(0.7818314824-0.8460107361*y-0.1930964297*x)*(0.7818314825-0.6784479340*y+0.5410441731*x)*(0.7818314825+0.8677674789*x)*(0.7818314824+0.6784479339*y+0.541044172*x)*(0.7818314824+0.8460107358*y-0.193096429*x)*(0.7818314821+0.3765101990*y-0.781831483*x)

 

x^2+y^2+z^2<=36

-6

...

 

6

 

-6

...

 

6

 

-6

...

 

6

 

Chmutov Octic

(144 nodes)

 

 x^8+y^8+z^8-2*x^6-2*y^6-2*z^6+1.25*x^4+1.25*y^4+

1.25*z^4-0.25*x^2-0.25*y^2-0.25*z^2+0.03125 = 0

-1

...

 

1

-1

...

 

1

-1

...

 

1

Breske Septic

 

(2*x^7-42*x^5*y^2+70*x^3*y^4-14*x*y^6-14*x^6+70*x^4*y^2+70*x^2*y^4-14*y^6+28*x^5+56*x^3*y^2+

28*x*y^4-84*x^2*y^2+28*y^4-42*x^3-42*x*y^2+14*x^2-14*y^2+14*x)+0.5*(64*z^7-112*z^5+56*z^3-7*z+5)

 

x^2+y^2+z^2<=25

-5

...

 

5

-5

...

 

5

-5

...

 

5

Endraß Octic

s=√2

(-1/4*(1-s)*(x^2+y^2)^2+(x^2+y^2)*((1-1/s)*z^2+1/8*(2-7*s))-z^4+(0.5+s)*z^2-1/16*(1-12*s))^2-(x-1)*(s/2*x+s/2*y-1)*(y-1)*(-s/2*x+s/2*y-1)*(-x-1)*(-s/2*x-s/2*y-1)*(-y-1)*(s/2*x-s/2*y-1) = 0

 

x^2+y^2+z^2<=25

 

Variante 2:

s= - √2

-5

...

 

5

-5

...

 

5

-5

...

 

5

Sart Octic
(72 nodes)

3584*z^4+256*z^8+1792*z^4*x^4+10752*z^2*x^4+1792*x^4+256*x^8+256+1792*z^4*y^4+

10752*z^2*y^4+1792*y^4+256*y^8+10752*z^4*x^2*y^2-21504*z^2*x^2*y^2+10752*x^2*y^2+

3584*x^4*y^4+192(-1-12*x^4*y^2*z^2-24*x^2*y^2*z^2-12*x^2*y^2-12*x^2*z^2-12*y^2*z^2-12*x^4*y^2-

12*x^4*z^2-12*x^2*y^4-12*x^2*z^4-12*y^4*z^2-12*y^2*z^4-4*x^6*y^2-4*x^6*z^2-6*x^4*y^4-

6*x^4*z^4-4*x^2*y^6-4*x^2*z^6-4*y^6*z^2-6*y^4*z^4-4*y^2*z^6-12*x^2*y^4*z^2-12*x^2*y^2*z^4-

4*x^2-4*y^2-4*z^2-6*x^4-6*y^4-6*z^4-4*x^6-4*y^6-4*z^6-x^8-y^8-z^8)

 

x^2+y^2+z^2<=25

-5

...

 

5

-5

...

 

5

-5

...

 

5

Sart Octic (144 nodes)

x^8+y^8+z^8+1+14(x^4*y^4+x^4*z^4+x^4+y^4*z^4+y^4+z^4)+168*x^2*y^2*z^2-9/16*(x^2+y^2+z^2+1)^4=0

-7

...

 

7

-7

...

 

7

-7

...

 

7

Breske Nonic (216 nodes)

 x^9-36*x^7*y^2+126*x^5*y^4-84*x^3*y^6+9*x*y^8+64*z^9-9*x^8+126*x^6*y^2-126*x^2*y^6+

9*y^8+27*x^7- 27*x^5*y^2-135*x^3*y^4-81*x*y^6-144*z^7-21*x^6-225*x^4*y^2+45*x^2*y^4-

39*y^6-36*x^5+72*x^3*y^2+108*x*y^4+108*z^5+54*x^4+108*x^2*y^2+54*y^4+9*x^3-

27*x*y^2-30*z^3-27*x^2-27*y^2+2.25*z+4.25

 

x^2+y^2+z^2<=16

-4

...

 

4

-4

...

 

4

-4

...

 

4

Escudero Nonic

(220 nodes)

 

d=9

L(x,y,k) = y-(cos(k*2*pi/(6d))-x)*tan(k*pi/(6d))-sin(k*2*pi/(6d))

lambda(d) = 3^((1-(-1)^d)/4)*(-1)^(floor((d+3)/6)+1)

J(x,y) = lambda(d)*L(x,y,1)*L(x,y,7)*L(x,y,13)*L(x,y,19)*L(x,y,25)*L(x,y,31)*L(x,y,37)*L(x,y,43)*L(x,y,49)

Q(x,y,z) = J(x,y)+(-1)^(d+1)/4*(J(z,0)-1+(-1)^(d+1)*2) = 0

 

x^2+y^2+z^2 <=25

-5

...

 

5

-5

...

 

5

-5

...

 

5

Barth Decic

 

p= (√5+1)/2

 

8(x^2-p^4*y^2)(y^2- p^4*z^2)*(z^2-p^4*x^2)*(x^4+y^4+z^4-2*x^2*y^2-2*x^2*z^2-2*y^2*z^2)+(3+5p)(x^2+y^2+z^2-a)^2*(x^2+y^2+z^2-(2-p))^2

 

x^2+y^2+z^2<=9

-3

...

 

3

-3

...

 

3

-3

...

 

3

Sarti Dodecic

 

 

-22* (1+x^2+y^2+z^2)^6 +243*(48* (x^2*y^2+z^2) * (y^2+x^2*z^2) * (x^2+y^2*z^2) -352*x^2*y^2*z^2*(x^2+y^2+z^2 +x^2*y^2 +x^2*z^2 +y^2*z^2) +336*x^2*y^2*z^2* (1+x^4+y^4+z^4) +2*(x^2+y^2+z^2+

x^2*y^2 +x^2*z^2 +y^2*z^2) * (1+x^4+y^4+z^4)^2 -14*(1+x^4+y^4+z^4) * ((z^2+x^2*y^2) *

(y^2+x^2*z^2) +(z^2+x^2*y^2) * (x^2+y^2*z^2)+ (x^2+y^2*z^2) * (y^2+x^2*z^2)) -6* (1+x^4+y^4+z^4)*((z^2+x^2*y^2)^2 + (y^2+x^2*z^2)^2+(x^2+y^2*z^2)^2) +33*sqrt(5) * ((x^2*y^2+z^2)^2 * (y^2+x^2*z^2) - (y^2+x^2*z^2)^2 * (x^2*y^2+z^2) - (x^2*y^2+z^2)^2 * (x^2+y^2*z^2) + (y^2+x^2*z^2)^2 * (x^2+y^2*z^2) + (x^2+y^2*z^2)^2 * (x^2*y^2+z^2) - (x^2+y^2*z^2)^2 * (y^2+x^2*z^2)) +19*((x^2*y^2+z^2)^2 * (y^2+x^2*z^2)+ (y^2+x^2*z^2)^2 * (x^2*y^2+z^2) + (x^2*y^2+z^2)^2 * (x^2+y^2*z^2) + (y^2+x^2*z^2)^2 * (x^2+y^2*z^2) + (x^2+y^2*z^2)^2 * (x^2*y^2+z^2) + (x^2+y^2*z^2)^2 * (y^2+x^2*z^2)) +10* ((x^2*y^2+z^2)^3+ (y^2+x^2*z^2)^3+ (x^2+y^2*z^2)^3))

 

x^2+y^2+z^2<=25

-5

...

 

5

 

-5

...

 

5

 

-5

...

 

5

 

Escudero Dodecic

(581 nodes)

wie Escudero Nonic, aber mit

 

d=12

J(x,y) = lambda(d)*L(x,y,1)*L(x,y,7)*L(x,y,13)*L(x,y,19)*L(x,y,25)*L(x,y,31)*L(x,y,37)*L(x,y,43)*L(x,y,49)
             *L(x,y,55)*L(x,y,61)*L(x,y,67)

-5

...

 

5

-5

...

 

5

-5

...

 

5

Escudero Quindecic

(1182 nodes)

wie Escudero Nonic, aber mit

 

d=15

J(x,y) = lambda(d)*L(x,y,1)*L(x,y,7)*L(x,y,13)*L(x,y,19)*L(x,y,25)*L(x,y,31)*L(x,y,37)*L(x,y,43)*L(x,y,49)
            *L(x,y,55)*L(x,y,61)*L(x,y,67)*L(x,y,73)*L(x,y,79)*L(x,y,85)

-5

...

 

5

-5

...

 

5

-5

...

 

5

Labs Quintic

x^5-10*x^3*y^2+5*x*y^4-3*z^5-5*x^4-10*x^2*y^2-5*y^4+10*z^3+20*x^2+20*y^2-15*z-24

 

x^2+y^2+z^2<=36

-6

...

 

6

-6

...

 

6

-6

...

 

6

Labs Sextic

(30 cusps)

a=1

 

4*((a*(1+sqrt(5))/2)^2*x^2-y^2)*((a*(1+sqrt(5))/2)^2*y^2-z^2)*((a*(1+sqrt(5))/2)^2*z^2-x^2)-
(1+2*(a*(1+sqrt(5))/2))*(x^2+y^2+z^2-1)^3 = 0

-1.5

...

 

1.5

-1.5

...

 

1.5

-1.5

...

 

1.5


Quellen: