Supershape

Supershape

Eine weitere Superquadrik, das Supershape, beruht auf der Superformel von Gielis. Zur Herleitung wird zunächst das sphärische Produkt zweier Kurven definiert, wobei ich mich bei der Notation an Barr's Arbeit [1] halte. Auch das Superellipsoid und der Supertoroid basieren auf dem sphärischen Produkt. Eine kleine Übersicht findet man in [2].

 

Sphärisches Produkt

Das sphärische Produkt zweier 2D-Kurven

 

ist definiert als

 

Dabei ist s eine 3D-Fläche. Dies kann man sich geometrisch so vorstellen, dass eine horizontale Kurve h vertikal  längs der Funktion m verschoben wird, wobei m1 (η) die Kurve h skaliert (man sagt dazu auch "moduliert"), während m2 (η) die vertikale Schiebebewegung vorgibt. Somit beeinflusst ω die entstehende 3D-Fläche horizontal, η hingegen vertikal.

 

Ist m ein Halbkreis und h ein Kreis, so ergibt sich als sphärisches Produkt eine Kugel. Im folgenden sind noch zwei weitere Beispiele für ein sphärisches Produkt dargestellt, wobei bei beiden die modulierende Kurve ein Halbkreis ist, gegeben durch

 

m1 (η) = r cos (η)

m2 (η) = r sin (η)    mit  - 0.5 π ≤ η ≤ 0.5 π.

 

•  Kardiode

 

   h1 (ω) = 2 (1-cos (ω)) cos (ω)

   h2 (ω) = 2 (1-cos (ω)) sin (ω)     mit  - π ≤ ω ≤  π  

 

•  Hypozykloide

 

   h1 (ω) = 2 cos (ω) - cos (4ω)

   h2 (ω) = 2 sin (ω) + sin (4ω)     mit  - π ≤ ω ≤  π


3D Superformel

Zur 3D Superformel gelangt man, indem man für m einen Halbkreis mit dem Radius rm, für h einen Kreis mit dem Radius rh nimmt und einen der Radien oder beide durch eine bzw. zwei Superformeln sf1, sf2 ersetzt
(s. Diverse Themen/Superformel).

 

Die Graphing Calculator 3D-Datei 3D Supershape.gc3 leistet genau das; hierzu ein Beispiel:

 

Zunächst legt man die Superformeln sf1 und sf2 fest und lässt sie sich anzeigen.

  • sf1 : a = 1,  b = 1,  m1 = m2 = 5,  n1 = 0.5,  n2 = 0.5,  n3 = 0.5   
  • sf2 : a = 1,  b = 1,  m1 = m2 = 2,  n1 = 1,  n2 = 1,  n3 = 1  

Mit einem Slider stellt man den Typ der entstehenden 3D Superformel ein:

horizontale
Superfunktion

 

vertikaler Modulator

Typ 0

Halbkreis sf1

h1 (ω) = cos (ω) sf1 (ω)

h2 (ω) = sin (ω) sf1 (ω)

 

m1 (η) = cos (η) r

m2 (η) = sin (η) r

Supershape Typ 0

Typ 1

sf1 sf1

h1 (ω) = cos (ω) sf1 (ω)

h2 (ω) = sin (ω) sf1 (ω)

 

m1 (η) = cos (η) sf1 (η)

m2 (η) = sin (η) sf1 (η)

Supershape Typ 1

Typ 2

sf1 sf2

h1 (ω) = cos (ω) sf1 (ω)

h2 (ω) = sin (ω) sf1 (ω)

 

m1 (η) = cos (η) sf2 (η)

m2 (η) = sin (η) sf2 (η)

Supershape Typ 2

Typ 3

sf2 sf1

h1 (ω) = cos (ω) sf2 (ω)

h2 (ω) = sin (ω) sf2 (ω)

 

m1 (η) = cos (η) sf1 (η)

m2 (η) = sin (η) sf1 (η)

Supershape Typ 3

Hier noch ein weiteres Beispiel mit den Superformeln

  • sf1 : a = 1,  b = 1,  m1 = 2,  m2 = 10,  n1 = -1.5,  n2 = 1,  n3 = 1  
  • sf2 : a = 0.8,  b = 3,  m1 = m2 = 6,  n1 = -0.25,  n2 = 1,  n3 = 1 

und den entstehenden Objekten (Typ 0 bis Typ 3):

 

Im folgenden noch ein paar weitere Beispiele von Supershapes (das Problem dabei ist, dass ich mich kaum entscheiden kann, welches denn nun gezeigt werden soll - sobald man die Reglern des Programms bewegt, entstehen ja stets neue Formen - ein weiterer Grund, es mit Graphing Calculator 3D einmal selbst zu versuchen):

 

Die x-, y- und z-Komponente des Supershapes können noch mit einem Vektor [ rx, ry, rz ] multipliziert werden, wobei das Supershape dann in x-, y-, z-Richtung für r-Werte > 1 gestreckt, für r-Werte < 1 gestaucht wird.

Bei der folgenden "Blumengalerie" wurde davon Gebrauch gemacht (r<1 für die z-Komponente), um flache Blüten zu erzeugen.

3D Supershape - Variante mit Torus

Eine Variante zur Erzeugung von Supershapes besteht darin, anstelle des spärischen Produkts einen Torus zu verwenden, wobei der äußere Radius R sowie der innere Radius r des Torus durch die Superformeln sf1 und sf2 ersetzt werden:

 

x (u, v) = cos (v) [ R + r cos (u) ]                  x (u, v) = cos (v) [ sf1 (v) + sf2 (u) cos (u) ]

y (u, v) = sin (v)  [ R + r cos (u) ]        →       y (u, v) = sin (v)  [ sf1 (v) + sf2 (u) cos (u) ]      mit  0 ≤ u, v 2π

z (u,v) = r sin (u)                                            z (u,v) = sf2 (u) sin (u)

 

Somit bestimmt sf1 die äußere Form (Umriss) des Torus und sf2 seinen Querschnitt.

 

Einige Besipiele sind in der nachfolgenden Bildergalerie zusammengestellt. Diese wurden mit der oben genannten Graphing Calculator 3D-Datei erzeugt, bei der das sphärische Produkt durch die obigen Toruskomponenten ausgetauscht wurden. Die 2D-Diagramme zeigen dann die äußere Form sowie den Querschnitt (in gelb)des entstehenden Torus.

Bei den obigen "Spiralen" wurde die ursprüngliche Superformel sf1 (φ) noch mit e c φ multipliziert (hier: c = 0.2)
(vgl. Diverse Themen/Superformel). 



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