Trassierung

Der Begriff Trassierung beschreibt das Entwerfen und Festlegen der Linienführung ("Trasse") eines Verkehrsweges (Strassen, Bahnstrecken) in Lage, Höhe und Querschnitt.

 

Dazu werden mit Hilfe verschiedener Entwurfsmethoden Trassierungselemente zu einer räumlichen Linie zusammengefügt. Diese muss nicht nur fahrdynamischen und sicherheitsbezogenen Gesichtspunkten genügen, sondern sich auch gut in die Landschaft einfügen und möglichst geringe Massenbewegungen oder Bauwerke, wie z.B: Brücken oder Tunnel erfordern. Wesentlichen Einfluss auf die Trassierung nehmen auch sogenannte Zwangspunkte (z.B. Gebäude), die eine Anpassung der räumlichen Linie notwendig machen.  Die Trassierung ist auch mit modernster Computertechnik eine komplexe Aufgabe für den Ingenieur und verlangt diesem umfachreiches Spezialwissen und Erfahrung ab.

 

Trassierung im Schulunterricht

Auch im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II wird die "Trassierung" oftmals im Kontext Differential-rechnung behandelt, jedoch stark vereinfacht und eingeschränkt auf zweidimensionale Anwendungen (s. Kritische Anmerkungen am Ende dieser Seite).

Gegenstand der Problemstellung dort sind in der Regel zwei vorgegebene Wegabschnitte, die durch einen dritten zu verbinden sind.

 

Modelliert wird das Ganze (s. Grafik), indem die vorgegebenen Wegabschnitte Teilgraphen zweier Funktionen g und h darstellen mit

 

g (x) , x x1   

h (x) , x x2

x1 < x2    

 

Das gesuchte Verbindungsstück zwischen x1 und x2 ist der Teilgraph eines Polynoms f.

 

Knickfreie Trassierung

Trivialerweise gilt, dass die Übergänge von g nach f an der Stelle x1 und von f  nach h an der Stelle x2 versatzfrei sein müssen.

 

Ebenfalls direkt einsehbar im Sinne eines Straßen- oder Bahngleiseverlaufs ist die Forderung, dass diese Übergänge auch knickfrei sein müssen, d.h. g und f  bzw. f und h besitzen an der Stelle x1 bzw. x2 jeweils die gleiche Steigung. Eine einfache Gerade als Verbindungsweg f scheidet somit in der Regel aus (s.u.). In eine mathematische Beschreibung umgesetzt ergibt sich demnach:

 

      Forderung        Bedingungen

  • versatzfrei:     g (x1)  = f (x1)     ,   f (x2)  = h (x2)
  • knickfrei:         g (x1)  = f (x1)     ,   f (x2)  = h (x2)
                            
    g ' (x1)  = f ' (x1)  ,   f ' (x2)  = h' (x2) 

Soll nun ein knickfreier (und damit auch versatzfreier) Übergang mittels eines Polynoms f erzeugt werden, so kann dieses Polynom wegen der vier obigen Bedigungen maximal vom Grad drei sein, da dann vier unbekannte Koeffizienten a3, a2, a1  und a0 zu bestimmen sind.

Mit

f (x)   =    a3 x3 +   a2 x2 + a1 x + a0

f ' (x) = 3 a3 x2 + 2 a2 x  + a1

 

und x1, x2 ergibt sich für a3, a2, a1  und a0 somit folgendes Gleichungssystem:

 

das dann mit geeigneten Methoden zu lösen ist.

 

Trassierung (knickfrei) mit kubischer Funktion f

Hierzu ein Beispiel mit folgenden Wegabschnitten:

     g (x) = 0.2 x² + 1.2 x + 2.6      x1 = -2

     h (x) = x - 6                              x2 = 3

Mit

     g ' (x) = 0.4 x + 1.2     g (-2) = 1      g ' (-2) = 0.4

     h ' (x) = 1                    h (3)  = -3     h' (3) = 1

ergibt sich das Gleichungssystem in erweiterer Matrixschreibweise zu

Trassierung (knickfrei) mit kubischer Funktion f

mit der Lösung a3 = 0.12, a2 = -0.12, a1 = -1.52, a0 = -0.6. Die gesuchte knickfreie Verbindung ist also die Funktion f (x) = 0.12 x3 - 0.12 x2 - 1.52 x - 0.6.       

Außer kubischen Funktionen können für eine knickfreie Verbindung bei den Polynomen f  auch Geraden (dies nur, falls die Tangenten in x1 und x2  identsich sind, s. linkes Bild in folgender Galerie) oder Parabeln auftreten.  

Krümmungsruckfreie Trassierung

Die oben berechneten Bahnen (z.B. Straßenverläufe) mit knickfreien Teilstücken sehen auf den ersten Blick "vernünftig" aus. Sollen diese jedoch mit einer hohen Geschwindigkeit befahren werden, sieht das Ganze anders aus. Dazu betrachte man folgende Animation, die jede(r) Autofahrer(in) direkt nachvollziehen kann:

 

Ein Fahrer fährt mit seinem Auto mit hoher Geschwindigkeit auf einem Kreisbogen (Viertelkreis). Da dessen Krümmung k  konstant ist, kann der Fahrer bei optimaler Fahrweise das Steuerrad in einer fixen Position halten. Durch die Zentrifugalkraft (roter Vektor in der Animation) wird der Fahrer (blauer Punkt) nach außen gedrückt. Am Ende des Viertelkreises schließt sich plötzlich eine Gerade mit der Krümmung Null an. Der Fahrer muss nun schlagartig das Steuerrad in Geradeaus-Stellung bringen. Selbst wenn trotz der schlagartigen Lenkbewegung das Auto in der Spur bleibt, so wird der Fahrer ruckartig wieder in seine normale Sitzposition (oder darüber hinaus) bewegt - er (und das Auto) erfährt einen Ruck.

Dies ist natürlich bei der Trassierung nicht erwünscht. Vielmehr müssen die Übergänge an den Stellen x1 und x2 nicht nur knickfrei, sondern auch krümmungsruckfrei sein. Daher muss gelten, dass die Krümmung der Funktionen g und f an der Stelle x1 und ebenso die Krümmung der Funktionen f und h an der Stelle x2 jeweils gleich sind. Für die das Verbindungsstück darstellende Funktion f  muss daher gelten:

  • krümmungsruckfrei g (x1)  = f (x1)      ,    f (x2)  = h (x2)
                          
                   g ' (x1)  = f ' (x1)   ,   f ' (x2)  = h' (x2)
                                         g ''
    (x1)  = f '' (x1)  ,   f '' (x2)  = h'' (x2)

Für einen krümmungsruckfreien (und damit auch versatz- und knickfreien) Übergang mittels eines Polynoms f  kann dieses wegen obiger sechs Bedigungen maximal vom Grad fünf sein, da dann sechs unbekannte Koeffizienten a5, a4, a3, a2, a1 und a0 zu bestimmen sind.

Mit

f (x)   =       a5 x5 +      a4 x4 +   a3 x3 +     a2 x2 + a1 x + a0

f ' (x) =    5 a5 x4 +   4 a4 x3 + 3 a3 x2 + 2 a2 x   + a1

f '' (x) = 20 a5 x3 + 12 a4 x2 + 6 a3 x   + 2 a2

 

und x1, x2 ergibt sich für a5, a4, a3, a2, a1 und a0 folgendes Gleichungssystem:

 

Angewandt auf das obige Beispiel mit kubischem, knickfreiem Verbindungsstück ergibt sich mit g '' (x) = 0.4 und h '' (x) = 0 das Gleichungssystem

und somit die Funktion

Die folgende Grafik zeigt die knickfreie Variante mit der kubischen Funktion f  und die krümmungsruckfreie Variante mit dem Polynom fünften Grades fo zum Vergleich. Zusätzlich wurde dort auch der Krümmungsverlauf k (x) des Gesamtweges (gestrichelte Linie) eingezeichnet.

Zum eigenen "Experimentieren" steht unten im Download-Bereich eine EXCEL-Datei bereit, mit der auch die obigen Trassierungen und Grafiken erstellt wurden.

Trassierung mit beiden Varianten sowie Verläufe der Krümmung

Die folgenden beiden Animationen sollen noch einmal das Problem der Krümmungsruckfreiheit anhand eines Straßenverlaufs mit fahrendem Auto veranschaulichen.

 

Die vorgegebenen Straßenabschnitte sind g (x) = -1.5 x - 6,
h (x) = -0.5 x + 4,  x1 = -3,  x2 =3  (s.Abbildung rechts).

Für die knickfreie Trassierung ergibt sich

f (x) = - 5/54 x³ + 1/12 x² + 3/2 x - 1/4,

für die krümmungsruckfreie

fo (x) = 5/648 x5 -1/432 x4 - 25/108 x3 + 1/8 x2 + 17/8 x - 7/16.

Das eingezeichnete Lenkrad (weißer Pfeil zeigt in Fahrtrichtung) zeigt die erforderlichen Lenk-bewegungen, der rote Strich am "Fahrer" (blauer Punkt) zeigt die auf ihn wirkende Zentrifugalkraft.

 

Die "Straße" sowie das Fahrzeug wurden mittels eines Rohrs, das die Funktionen ummantelt und bei dem die z-Komponente zu Null gesetzt wurde, erzeugt (s. bei Funktionsgraph als Rohr/Röhre).

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Trassierung Anschlussstück an Brücke

Abschließend soll noch eine Trassierung für eine leicht veränderte Aufgabenstellung durchgeführt werden. Hierbei sind folgende Fakten gegeben (s. Grafik rechts):

  • g (x) = - 0.5 x + 2
  • x1 = 0
  • x2 = 3.5
  • Die geradlinige Brücke verläuft senkrecht zum Fluss, dessen linkes Ufer durch die Funktion
    L (x) = -0.25 x³ + 4.25 x² - 24 x + 46 dargestellt werden kann.
  • Im Punkt Q (4|2) befindet sich die Brücke genau über dem linken Flussufer.

Das krümmungsruckfreie Anschlussstück soll zwischen P1 und P2 angelegt werden.

Lösung:

 

Es ist g ' (x) = - 0.5,  g '' (x) = 0.

Der Brückenabschnitt ist geradlinig, die den Brückenabschnitt bildende lineare Funktion h ist jedoch unbekannt. Da aber h im Punkt Q (4|2) senkrecht zur Funktion L (linkes Flussufer) verläuft, mithin eine Normale zur Tangente t an L in Q bildet (s. folgende linke Grafik), gilt dort für h

Mit L' (x) = -0.75 x² + 8.5 x - 24  und L' (4) = -2  ergibt sich h ' (x) = 0.5. Durch Einsetzen der Koordinaten von Q in die Punkt-Steigungs-Form einer Geraden ergibt sich  h (x) = 0.5 x,  h (3.5) = 1.75 sowie h '' (x) = 0.

Somit ergibt sich für das krümmungsruckfreie Anschlussstück das folgende Gleichungssystem nebst Lösung:

Die Lösung zusammen mit der Tangente t und dem Krümmungsverlauf k zeigt die folgende linke Grafik, eine Animation für das Befahren der Wegstrecke ist in der rechten Grafik zu sehen.


Intermezzo:  Zweite Ableitung und Krümmung

Bezüglich des Begriffs "Krümmung" sei an dieser Stelle ein kleines Intermezzo eingeschoben. So passierte es hin und wieder in meinem Unterricht zur Themenreihe Differentialrechnung, dass nach der Einführung der Ableitungen einer Funktion und deren Bedeutungen angesichts der Funktion f (x) = x² eine "ausgeschlafene" Schülerin fragte, wie es denn sein könne, "dass mit der zweiten Ableitung für die Krümmung überall 2 rauskommt, obwohl die Parabel für große x-Werte fast gerade und im Bereich des Scheitelpunkts stark gekrümmt ist"…

 

Oups – ein Fall "kognitiver Dissonanz" und - insbesondere wegen des bis dato fehlenden Unterrichtsstoffs (arctan-Funktion) und mathematischer Werkzeuge (Kettenregel) für die Herleitung des Begriffs "Krümmung eines Funktionsgraphen" - eine echte Herausforderung für den Mathelehrer! Zumindest kann man in solch einem Moment folgendes klarstellen:

  • Eine Funktion ist bekanntlich eine Zuordnung, wobei jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y einer Wertemenge W zugeordnet wird:
  • Der Funktionsgraph ist eine grafische Interpretation / Modell des (abstrakten) mathematischen Objekts Funktion, indem die Wertepaare (x | y) in die x/y-Ebene (kartesisches Produkt aus Definitionsmenge D und Wertemenge W) eingetragen werden. Es ergibt sich eine geometrische Figur (Kurve), wie z.B. eine Gerade für die lineare Funktion y = f(x) = a • x + b oder eine Parabel für die quadratische Funktion y = f (x) = a • x² + b • x + c (a ≠ 0).
  • Die erste Ableitung in einem Punkt (x0 | y0) gibt die Steigung der Funktion im Punkt (x0 | y0) an. Dies entspricht beim Funktionsgraph der Steigung der Tangente im Punkt (x0 | y0).
  • Die zweite Ableitung f '' in einem Punkt (x0 | y0) gibt die Krümmung der Funktion f im Punkt (x0 | y0) an. Ist ihr Wert dort positiv, so ist die Funktion "linksgekrümmt", ist er negativ, so ist die Funktion dort "rechtsgekrümmt". Tatsächlich (und wie zu erwarten war) zeigt das geometrische Objekt Funktionsgraph (Kurve) das gleiche Krümmungsverhalten wie die Funktion, wie z.B. eine Linkskrümmung bei der Normalparabel. Die Krümmung eines Funktionsgraphen im Punkt (x0 | y0) ist ein Maß für die Richtungsänderung der Tangente in diesem Punkt.

   Übrigens ...

  Lineare und quadratische Funktionen sind die einzigen Funktionen, deren Krümmung konstant ist.

zum Begriff Krümmung eines Funktionsgraphen

Um für eine Kurve die geometrische Krümmung in einem Punkt (x0 | y0) zu ermitteln, betrachte man die nebenstehende Grafik.

 

Die Tangente im Punkt (x0 | y0) bildet mit der x-Achse einen Winkel φ. Wandert man auf der Kurve ausgehend vom  Punkt (x0 | y0) eine kleine Wegstrecke ∆s weiter, so entsteht zwischen den Tangenten an beiden Punkten eine Winkeldifferenz ∆φ.

 

Die Krümmung κ ist definiert als das Maß, wie stark sich dieser Winkel ändert:

 

zum Begriff Krümmung eines Funktionsgraphen

Ist die Kurve ein Funktionsgraph einer Funktion f, so ergibt sich für die Krümmung zu

(Anmerkung: Ich verzichte hier auf eine Herleitung; der interessierte Leser findet eine solche z.B. bei [1]).

 

Es lassen sich somit folgende Aussagen treffen:

  • Die Krümmung ist vorzeichenbehaftet durch das Vorzeichen von f '' (x); ist f '' (x0) > 0, so ist die Kurve an x0 linksgekrümmt, ist f '' (x0) < 0, so ist die Kurve an x0 rechtsgekrümmt.
  • Ist f '' (x0) = 0, wie z.B. in einem Wendepunkt, so ist κ (x0) = 0.
  • Ist f ' (x0) = 0, liegt also an der betrachteten Stelle eine waagrechte Tangente vor, wie z.B. an einem Extremwert, so gilt κ (x0) = f '' (x0).

   Übrigens ...

  Eine konstante Krümmung κ besitzen nur die Gerade (κ = 0) sowie der Kreis (Radius r : κ = 1 / r).

 

Die folgende Grafik zeigt für das Beispiel der Funktion f (x) = x² den Funktionsgraph (Normalparabel), ihre zweite Ableitung f '' (x) = 2 sowie den Graph der Krümmungsfunktion κ (x), die jedem x-Wert die Krümmung des Funktionsgraphen von f zuordnet und natürlich genau die Beobachtung der oben zitierten Schülerin wiedergibt.

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Eng verknüpft mit dem Begriff Krümmung einer ebenen Kurve im Punkt (x0 | y0) ist der Krümmungskreis (auch Schmiegekreis genannt) zum Punkt (x0 | y0), der die Kurve in diesem Punkt am besten annähert. Den Mittelpunkt des Krümmungskreises nennt man Krümmungsmittelpunkt. Sein Radius, der Krümmungsradius, ist der Betrag des Kehrwerts der Krümmung κ der Kurve im Punkt (x0 | y0). Seine Tangente in diesem Punkt stimmt mit der Tangente der Kurve überein.

 

Da die Krümmung einer Kurve im Allgemeinen örtlich variiert, schmiegt sich der Krümmungskreis meist nur in einer infinitesimal kleinen Umgebung der vorgegebenen Kurve an. Er verläuft auf der einen Seite des Berührungspunktes innerhalb und auf der anderen Seite außerhalb der Kurve, er schneidet also die Kurve in einem gewissen Abstand vom Punkt (x0 | y0). Nur wenn die Krümmung der Kurve bei (x0 | y0) ein Extremum hat, schmiegt sich der Kreis auf einer längeren Strecke der Kurve an diese an, wie man es auch in den folgenden Animationen, die Krümmungskreise beim Überfahren der Funktionsgraphen verschiedener Funktionen zeigen, beobachten kann. Pro Grafik ist dort folgendes dargestellt:

... Übrigens ...

 In einem Wendepunkt des Funktionsgraphs von f (dort ist f '' (x) = 0) ist der Krümmungsradius r = ∞.


Kritik: Trassierung im Schulunterricht <> Trassierung in der realen Welt

Übergang Gerade - Kreisbogen mit Klothoide

Links

 

[1]   wikipedia.org/wiki/Krümmung

[2]

[3]

 


Download

Die folgende EXCEL-Datei berechnet die Trassierungselemente und stellt diese grafisch dar. Ich habe sie bewusst einfach "programmiert". So wurde z.B. auf Überprüfungen der Eingabe sowie auf VBA-Elemente verzichtet. Somit kamm der interessierte Leser das Tabellenblatt ganz einfach auf seine Bedürfnisse hin anpassen.