Basins of Attraction mit Shader-A

Ergänzend zu den  Basins of Attraction der Polynome z2-1, z3-1, z3-z, z4-1 und z4-5z2+4 auf der Hauptseite finden Sie hier weitere Beispiele, die mit dem Shader-A berechnet wurden.

Beim Shader-A werden die Koeffizienten ai  (2 ≤ i ≤ 8) eines Polynoms vorgegeben; der Grad n (höchste vorkommende Potenz) des Polynoms wird automatisch ermittelt.

Möchte man außer der Konvergenzgeschwindigkeit auch die Basins of Attraction darstellen, so müssen auch die Nullstellen des Polynoms eingegeben werden.

Klicken Sie bei den folgenden Galerien auf ein Bild. Sie erhalten eine größere, detailreichere Ansicht sowie Informationen zum verwendeten Verfahren und können sich dann innerhalb der Galerie mit den Pfeiltasten   am linken / rechten Bildschirmrand bewegen.

 

•  z^6 - 10 z^3 + 8 = 0

Das Polynom 6. Grades mit reellen Koeffizienten besitzt zwei reelle und vier komplexe Nullstellen:

 

A ( -1.04476249059255 ,  -1.80958171554851)     B     0.957155342964920

C ( -0.47857767148246 ,   0.82892084237563)     D ( -0.47857767148246 ,  -0.828920842375627)

E      2.08952498118511                                           F ( -1.04476249059255 ,   1.80958171554851)

 

Im Shader-A stellt sich das dann folgendermaßen dar:

Das erste Bild in der folgenden Galerie zeigt das Newton-Verfahren im Bereich B = [-3, 3] x [-3,3]. Bis auf das Sekantenverfahren wurden dann alle folgenden Bilder für einen Bereich B [-1.6, 1.8] x [-0.1, 0.1] (s. schwarze "Lupe" im ersten Bild) berechnet.


•  z^6 - 10 z^3 + 8 = 0

Dieses Polynom entspricht vom Aufbau dem vorhergehenden, es wurden jedoch außer bei der höchsten Potenz die jeweiligen Vorzeichen umgekehrt. Ohne Eingabe der Nullstellen wurde mit dem Shader-A die Konvergenzgeschwindigkeit für einige Verfahren im Bereich B = [-3, 3] x [-3, 3]  berechnet:

Nach Eingabe der (neuen) Nullstellen

 

A   -2.20663031                                 B ( -0.45317967 , -0.78493021 )
C ( -0.45317967 ,  0.78493021 )       D     0.90635934
E (  1.10331516 , -1.91099791 )        F (  1.10331516 ,  1.91099791 )

 

im Shader-A können dann auch die Basins of Attraction berechnet werden; hier einige Beispiele:


•  z^7 - 4 z^4 + 4 z^2 - 7 = 0

Das Polynom 7. Grades mit reelllen Koeffizienten besitzt eine reelle und sechs komplexe Nullstellen:

 

A    1.52841193                              B ( -0.95392503 ,  -0.54637785 )

C ( -0.95392503 ,   0.54637785 )   D ( -0.68661999 ,  -1.58744628 )

E ( -0.68661999 ,   1.58744628 )    F ( 0.87633904  ,  -0.70632651 )

G ( 0.87633904  ,   0.70632651 )

 


•  Polynom vom Grad 8 mit komplexen Koeffizienten

Hier ein Beispiel für ein Polynom 8. Grades mit komplexen Koeffizienten:

p (z) = z8 – 2i z7 – (2.75+i) z6 – (2-1.5i) z5 + (0.5+2i) z4 + 2i z3 + (2.75+i) z2 + (2-1.5) z - (1.5+2i)

 

Fügt man die Nullstellen (2 reelle, 6 komplexe) im Shader-A hinzu

so können auch die Basins of Attraction berechnet werden.