Fläche unter parametrischer Funktion

 

Ist die Funktion in parametrischer Form gegeben durch  x = fx (t) , y = fy (t) , so beträgt die Fläche A unter f

und fx (ta) = a  und  fy (tb) = b  für  ta  ≤  t  ≤  tb.


Fläche unter Ellipse

Fläche unter einer Ellipse

Die Fläche einer Ellipse mit x = fx (t) = a cos (t) und y = fy (t) = b sin (t) soll bestimmt werden.

 

Die Fläche besteht aus 4 Teilflächen, die alle gleich groß wie A im Intervall [0, a] sind. Für A gilt  x = 0  →  ta = π / 2 x = a  →  tb = 0
und
fx ' (t) = - a sin(t).

Fläche unter einer Ellipse

Die entsprechende Datei für den Graphing Calculator 3D (s. unten im Download-Bereich) liefert z.B. für a = 2 und b =1 das Ergebnis mit einer Genauigkeit von 14 Nachkommastellen:

 

Fläche unter einer Ellipse



Fläche unter Zykloide

Fläche unter einer Zykloide

Für eine Zykloide mit der parametrischen Funktion

 

x = fx (t) = a ( t - sin (t) ) und  y = fy (t) = a ( 1 - cos (t) )

 

soll die Fläche A im Intervall [0, 2π] bestimmt werden

(diese wurde auch zur Berechnung des Volumens eines American Football, s. Volumen mit parametrischer Funktion verwendet).

Es gilt:  x = 0  →  ta = 0      x = 2 π →  tb = 2 π    und   fx ' (t) = a ( 1 - sin (t) ).

Für z.B. a = 1 liefert Graphing Calculator 3D das Ergebnis mit einer Genauigkeit von 13 Nachkommastellen.



Fläche unter Archimedischer Spirale

Archimedische Spirale mit n Umdrehungen

Es soll die Fläche unter einer Archimedischen Spirale bestimmt werden.

 

Diese entsteht, wenn - ausgehend von einem Kreis mit
x = r • cos (φ)  und  y = φ • sin (φ) - der Radius r proportional zum Drehwinkel φ zunimmt:   r = a • φ  mit  a>0. Somit wird sie erzeugt mit der parametrischen Funktion

 

x = fx (t) = a • φ • cos (φ)  und  y = fy (φ) = a • φ • sin (φ).

 

Für eine erste Umdrehung (n = 1) mit φ = 0 ... 2 π gilt:

 

φ = 0  →  φa = 0        φ = 2 π  →  φb = 2 π   

fx ' (φ) = a ( cos (φ) - φ sin (φ)

Archimedische Spirale mit n Umdrehungen

Fläche und Teilflächen unter Archimedischer Spirale

Für weitere Umdrehungen ergibt sich für die Gesamte Fläche unter der Spirale folgendes Schema:

 

n = 2:

Fläche und Teilflächen unter Archimedischer Spirale

n = 3:

Fläche und Teilflächen unter Archimedischer Spirale

n = 4:

Fläche und Teilflächen unter Archimedischer Spirale

und schließlich allgemein für n Umdrehungen:


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