Flächenschwerpunkt

In der Mathematik und Physik ist der Flächenschwerpunkt einer ebenen Fläche A als die arithmetisch gemittelte Position aller Punkte innerhalb der Fläche definiert.

Für 2-dimensionale Standardobjekte, wie z.B. Dreiecke, Parallelogramme, Viertel-/Halbkreise, Ellipsen, etc. sind die Koordinaten ihrer Schwerpunkte bekannt [1], [2], [3].

Ist das Objekt jedoch durch zwei Funktionen f und g begrenzt (s. Abbildung rechts), ist die Bestimmung des Schwerpunktes aufwendiger:

 

Der Flächenschwerpunkt C (xc | yc) eines Bereichs, der durch die stetigen Funktionen f und g innerhalb des Intervalls [a, b] begrenzt wird, wobei f (x) ≥ g (x) oder g (x) ≥ f (x) mit a ≤ x ≤ b gilt, ergibt sich zu:

Hierbei ist A die Fläche des Bereichs und somit

(vgl. Fläche zwischen Funktionen).


Aus den obigen Bedingungen folgt, dass sich f und g im Intervall [a, b] nicht schneiden dürfen.

 

Die Graphing Calculator 3D-Datei  Centroid.gc3 berechnet und plottet die Funktionen f und g, den Bereich zwischen f und g innerhalb der Intervallgrenzen und den Flächenschwerpunkt C. Außerdem erfolgt eine Warnung, falls sich f ung g im Intervall [a, b] schneiden:

 

 

Programmier-Details:

  • Die obigen drei Integrale werden numerisch berechnet (s. Numerische Integration).
  • Die Einfärbung des Bereichs zwischen f und g im Intervall [a, b] erfolgt "invertiert", d.h. der Bereich selbst ist "leer" (Hintergrundfarbe), während die Fläche außerhalb des Bereichs weiß eingefärbt ist (vgl. Fläche zwischen Funktionen).
  • Der Flächenschwerpunkt C (xc | yc) wird als Fadenkreuz und/oder als gestrichelte Linien angezeigt:

  • Die Prüfung, ob sich die Funktionen f und g innerhalb des Intervalls [a, b] schneiden, ist etwas aufwendiger und wird folgendermaßen durchgeführt:
  • Für die Differenzfunktion h (x) = f (x) – g(x) werden das Minimum ymin und das Maximum ymax in [a, b] bestimmt. Hierzu wird das Intervall in N Teile (z.B. N = 5000) geteilt und mittels einer Rekursion Minimum und Maximum bestimmt:

  • Durch einen Vorzeichenvergleich von ymin und ymax liefert eine Funktion intsec_flag entweder den Wert 1 im Falle, dass sich f und g schneiden oder den Wert 0, falls dies nicht der Fall ist, gemäß folgender Bedingungen:

Mit anderen Worten: f und g schneiden sich nicht, falls die Vorzeichen von ymin und ymax gleich sind oder eines davon 0 ist; dies wird folgendermaßen implementiert:

Hinweis:

Anstelle der in GC3D verfügbaren Stadardfunktion sign wird hier eine modifizierte Funktion signum verwendet; dies ist notwendig, da die Funktion sign auf Grund von Rundungsfehlern bei der Berechnung von ymin bzw. ymax den Wert -1 oder 1 liefern kann, obwohl der korrekte Wert 0 ist.

  • Falls die Variable intsec_flag den Wert 1 hat, wird der Zeichenbereich rot eingefärbt um davor zu warnen, dass der angezeigte Schwerpunkt C nicht definiert ist:

Im folgenden Beispiel ist der Wert für b zu hoch eingestellt, so dass sich f und g in [a, b] schneiden.

Als Alternative oder Ergänzung kann in diesem Fall die Anzeige von C unterdrückt werden:

Hinweis:

Die zusätzlichen Zeilen xcross1(x)=…  und ycross1(x)=… sind erforderlich, da GC3D "nur" zwei durch AND verknüpfte Ausdrücke verarbeiten kann, jedoch drei benötigt werden.


Flächenschwerpunkt - Beispiele

Beispiel  1

 

Es soll der Schwerpunkt der Fläche bestimmt werden, die im Intervall [0, 2π ] durch die Funktionen f und g begrenzt wird mit

 

f (x) =    [sin (x)] ² + 2.5

g (x) = - [sin (x)] ² + 2.5

 

Man beachte, dass sich f und g im Punkt (π | 2.5) nicht schneiden, sondern nur berühren. Dort befindet sich auch der Schwerpunkt.



Beispiel  2

 

Im Intervall [0, 2π ] soll der Schwerpunkt der Fläche berechnet werden, die durch f und g begrenzt wird mit

f (x) =    sin (x) + 2.5

g (x) = - sin (x) + 2.5

 

Da sich f und g im Punkt (π | 2.5) schneiden, wird ein Warnhinweis angezeigt.



Beispiel  3

 

Bestimme den Schwerpukt für einen Viertelkreis mit dem Radius 1, der durch die Funktion

 

im Intervall [0, 1] erzeugt wird.

Die Funktion g ist die x-Achse, also g (x) = 0.

 

Die exakten Koordinaten des Schwerpunkts sind

Mit n = 1000 berechnet GC3D die Koordinaten nur mit einem absoluten Fehler von ungefähr 10-6. Dies liegt daran, dass im Punkt (1 | 0) die Steigung - ∞ ist (vgl. Beispiel 3 bei Numerische Integration).



Beispiel 4

 

Bestimme die Koordinaten des Schwerpunkts der Fläche zwischen der Funktion f (x) = 5 ln (x) und der x-Achse im Intervall [1, e].

 

Verglichen mit der exakten Lösung

berechnet Graphing Calculator 3Ddie Lösung bereits ab n = 20 mit einem absoluten Fehler kleiner als 10-6.