Länge eines Funktionsgraphen

 

Die Bogenlänge s im Intervall [a, b] eines Graphen einer stetig differenzierbaren Funktion y = f (x) errechnet sich zu

 

 wobei f ' (x) die Ableitung (Steigungsfunktion) von f ist [1].

Länge eines Funktionsgraphen

Für einige geometrische Figuren und Funktionen lässt sich das Integral in geschlossener Form lösen, für eine Vielzahl von Funktionen existiert jedoch keine Stammfunktion  bzw. deren Herleitung ist extrem aufwendig, so dass man auf die Numerische Integration zurückgreift.

 

Ist die Funktion in parametrischer Darstellung gegeben:  x = fx (t),  y = fy (t)  (s.u. Länge einer Kardiode), so ergibt sich die Länge des Funktionsgraphen für t in den Grenzen ta und tb gemäß

Für eine Funktion in Polarkoordinaten ergibt sich die Länge des Graphens (s.u. Länge einer Archimedischen Spirale) zwischen den Winkeln φ0 und φ1 zu [2]:


Länge einer Parabel

In einem Quadrat mit der Seitenlänge 1 ist die Länge des Bogens (gelb in Grafik) der Parabel mit f (x) = x² in diesem Bereich gesucht.

Offensichtlich ist dieser Bogen länger als die Diagonale (blau in Grafik) mit dem Wert

 

Die Ableitung ist f ' (x) = 2 x. Somit ergibt sich für den Bogen s:

 

 Das Integral kann in geschlossener Form gelöst werden:

 

Mit Graphing Calculator 3D und numerischer Integration erhält man mit n= 1000 für den Bogen
s = 1.4789428575445978. Der absolute Fehler ist kleiner als
10-13.


Kreisumfang

Der Umfang eines Kreises mit dem Radius 1 soll ermittelt werden.

Ein entsprechender Halbkreis im Intervall [-1, 1] lässt sich durch die Funktion

 


darstellen. Für die Ableitung ergibt sich

 

und somit für den Umfang s des Vollkreises:

Länge Funktionsgraph: Halbreis mit Ableitung

 

Bei einer Lösung mit numerischer Integration ist zu beachten, dass der Integrand für x = -1 und x = 1 nicht definiert ist und s (x) (s. oben, blauer Graph) dort eine Polstelle besitzt.

 

Abhilfe schafft die numerische Integration für einen Viertelkreis (s. oben, orangener Graph) im Intervall

 

.

Die absolute Abweichung vom exakten Wert 0.5 π ist mit n = 1000  kleiner als 10-12.



Länge einer Sinusschwingung

Gesucht ist die Länge einer halben Sinuswelle für f (x) = sin (x)  z.B. im Intervall (0, π).

Für das Integral

 

existiert keine geschlossene Stammfunktion. Mittels numerischer Integration ergibt sich die Lösung 3.820197789027712 mit einem absoluten Fehler kleiner als 10-13 bereits mit n = 20.


Länge von sin ( exp (x) )


Zu ermitteln ist die Länge des Funktionsgraphen von
f (x) = sin( ex ) im Intervall [-2, 3] (blaue Markierungen in Grafik).
Mit der Ableitung f ' (x) = cos (x)  ex ergibt sich für den Bogen

 

Da keine Stammfunktion existiert, wird das Integral numerisch berechnet.

 

Mit n = 5000 ist der absolute Fehler kleiner als  10-13.

Länge Funktionsgraph von sin (e^x)



Länge einer Kardiode

Zu bestimmen ist die Länge einer Kardiode (s. Grafik). Sie wird erzeugt mit der parametrischen Funktion

 

x = fx (t) = a [ 1 - cos (t) ] cos (t)

y = fy (t) = a [ 1 - sin (t)  ] cos (t)

 

in den Grenzen t = 0, ..., 2π.

 

fx ' (t) = a [ -sin (t) + 2 cos (t) sin (t) ]

fy ' (t) = a [ cos (t) - cos ² (t) + sin ² (t) ]

 

und somit

Lange Funktionsgraph einer Kardiode mit a=1


Länge einer Archimedischen Spirale in Polarkoordinaten

Die Archimedische Spirale wird erzeugt durch die Funktion  f (φ) = a φ  (s. auch Beispiel unter Fläche unter Funktion in Polarkoordinaten).

 

Mit der Ableitung  f ' (φ) = a  ergibt sich für die Länge L zwischen φ0 und φ1 mit φ0 ≥ 0, φ1 > φ0 :         

Länge einer Archimedischen Spirale in Polarkoordinaten

In der animierten Grafik betragen a = 0, φ0 = 2π + 2 und φ1 = 4π + 1.

Die Differenz zwischen der Berechnung mit hergeleiteter Stammfunktion und der numerischen BErechnung mit dem Graphing Calculator 3D (s. Datei im Download-Bereich) ist kleiner als 10-13 :

 


Quellen

 

[1]   Sharma, A. K. (2005), Application Of Integral Calculus, Discovery Publishing House, S.101

[2]   Singh, R. R. (2010), Engineering Mathematics, Tata McGraw-Hill, S. 6.17


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