Länge eines Funktionsgraphen

 

Die Bogenlänge s im Intervall [a, b] eines Graphen einer stetig differenzierbaren Funktion y = f (x) errechnet sich zu

 

 wobei f ' (x) die Ableitung (Steigungsfunktion) von f ist [1].


Für einige geometrische Figuren und Funktionen lässt sich das Integral in geschlossener Form lösen, für eine Vielzahl von Funktionen existiert jedoch keine Stammfunktion  bzw. deren Herleitung ist extrem aufwendig, so dass man auf die Numerische Integration zurückgreift.

 

Ist die Funktion in parametrischer Darstellung gegeben:  x = fx (t),  y = fy (t), so ergibt sich die Länge des Funktionsgraphen für t in den Grenzen ta und tb gemäß


Beispiel 1

 

In einem Quadrat mit der Seitenlänge 1 ist die Länge des Bogens (gelb in Grafik) gesucht, der durch f (x) = x² erzeugt wird.

Offensichtlich ist dieser Bogen länger als die Diagonale (blau in Grafik) mit dem Wert

 

Die Ableitung ist f ' (x) = 2 x. Somit ergibt sich für den Bogen s

 

 Das Integral kann in geschlossener Form gelöst werden:

 

Mit Graphing Calculator 3D und numerischer Integration erhält man mit n= 1000 für den Bogen
s = 1.4789428575445978. Der absolute Fehler ist kleiner als
10-13.


Beispiel 2

 

Der Umfang eines Kreises mit dem Radius 1 soll ermittelt werden.

Ein entsprechender Halbkreis im Intervall [-1, 1] lässt sich durch die Funktion

 


darstellen. Für die Ableitung ergibt sich

 

.


und somit für den Umfang s des Vollkreises

 

 

Bei einer Lösung mit numerischer Integration ist zu beachten, dass der Integrand für x = -1 und x = 1 nicht definiert ist und s (x) (s. oben, blauer Graph) dort eine Polstelle besitzt.

 

Abhilfe schafft die numerische Integration für einen Viertelkreis (s. oben, orangener Graph) im Intervall

 

.

Die absolute Abweichung vom exakten Wert 0.5 π ist mit n = 1000  kleiner als 10-12.

__________________________________________

 

Beispiel 3

 

Gesucht ist die Länge einer halben Sinuswelle für f (x) = sin (x)  z.B. im Intervall (0, π).

Für das Integral

 

existiert keine geschlossene Stammfunktion. Mittels numerischer Integration ergibt sich die Lösung 3.820197789027712 mit einem absoluten Fehler kleiner als 10-13 bereits mit n = 20.


Beispiel 4

 

Zu ermitteln ist die Länge des Funktionsgraphen von
f (x) = cos ( ex ) im Intervall [-2, 3] (blaue Markierungen in Grafik).
Mit der Ableitung f ' (x) = cos (x)  ex ergibt sich für den Bogen

 

Da keine Stammfunktion existiert, wird das Integral numerisch berechnet. Mit n = 5000 ist der absolute Fehler kleiner als  10-13.



Beispiel 5

 

Zu bestimmen ist die Länge einer Kardiode (s. Grafik). Sie wird erzeugt mit der parametrischen Funktion

 

x = fx (t) = a [ 1 - cos (t) ] cos (t)

y = fy (t) = a [ 1 - sin (t)  ] cos (t)

 

in den Grenzen t = 0, ..., 2π.

 

fx ' (t) = a [ -sin (t) + 2 cos (t) sin (t) ]

fy ' (t) = a [ cos (t) - cos ² (t) + sin ² (t) ]

 

und somit

Kardiode mit a=1


Quellen

 

[1]   Sharma, A. K. (2005), Application Of Integral Calculus, Discovery Publishing House, S.101


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