Länge eines Funktionsgraphen

 

Die Bogenlänge s im Intervall [a, b] eines Graphen einer stetig differenzierbaren Funktion f errechnet sich zu

 

 

wobei f ' (x) die Ableitung (Steigungsfunktion) von f ist.


Für einige geometrische Figuren und Funktionen lässt sich das Integral in geschlossener Form lösen, für die Mehrzahl der Funktionen f existiert jedoch keine Stammfunktion  bzw. deren Herleitung ist extrem aufwendig, so dass man auf die Numerische Integration zurückgreift.

 

Beispiel 1

 

In einem Quadrat mit der Seitenlänge 1 ist die Länge des Bogens (gelb in Grafik) gesucht, der durch f (x) = x² erzeugt wird.

Offensichtlich ist dieser Bogen länger als die Diagonale (blau in Grafik) mit dem Wert

 

Die Ableitung ist f ' (x) = 2 x. Somit ergibt sich für den Bogen s

 

 Das Integral kann in geschlossener Form gelöst werden:

 

Mit Graphing Calculator 3D und numerischer Integration erhält man mit n= 1000 für den Bogen
s = 1.4789428575445978. Der absolute Fehler ist kleiner als
10-13.


Beispiel 2

 

Der Umfang eines Kreises mit dem Radius 1 soll ermittelt werden.

Ein entsprechender Halbkreis im Intervall [-1, 1] lässt sich durch die Funktion

 


darstellen. Für die Ableitung ergibt sich

 

.


und somit für den Umfang s des Vollkreises

 

 

Bei einer Lösung mit numerischer Integration ist zu beachten, dass der Integrand für x = -1 und x = 1 nicht definiert ist und s (x) (s. oben, blauer Graph) dort eine Polstelle besitzt.

 

Abhilfe schafft die numerische Integration für einen Viertelkreis (s. oben, orangener Graph) im Intervall

 

.

Die absolute Abweichung vom exakten Wert 0.5 π ist mit n = 1000  kleiner als 10-12.

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Beispiel 3

 

Gesucht ist die Länge einer halben Sinuswelle für f (x) = sin (x)  z.B. im Intervall (0, π).

Für das Integral

 

existiert keine geschlossene Stammfunktion. Mittels numerischer Integration ergibt sich die Lösung 3.820197789027712 mit einem absoluten Fehler kleiner als 10-13 bereits mit n = 20.


Beispiel 4

 

Zu ermitteln ist die Länge des Funktionsgrphen von
f (x) = cos ( ex ) im Intervall [-2, 3].

Mit der Ableitung f ' (x) = cos (x)  ex ergibt sich für den Bogen

 

Mit n = 5000 ist der absolute Fehler kleiner als  10-13.