Normalverteilung

Die Normal- oder Gauß-Verteilung (auch Gauß'sche Glockenkurve genannt) ist ein wichtiger Typ stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Für viele natur-, wirtschafts- und ingenieurswissenschaftliche Vorgänge lassen sich die Abweichungen der Messwerte vom Mittelwert durch die Normalverteilung exakt oder wenigstens in sehr guter Näherung beschreiben.

 

Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte beträgt

 

 

wobei µ der Erwartungswert und σ² die Varianz ist.

 

Um die typische Frage "Wie viele der Messwerte liegen im Bereich µ ± Vielfaches von σ ?" (weißer Bereich im folgenden Plot) zu klären, muss das Integral

 

berechnet werden mit a = µ - ns • σ und b = µ + ns • σ.

Da für dieses Integral keine Stammfunktion in geschlossener Form existiert, muss es numerisch berechnet werden:

 

 

Für [µ-σ, µ+σ], d.h. ns = 1, beträgt das Ergebnis ~ 68.3 %; für [µ-2σ, µ+2σ], d.h. ns = 2, liegen bereits ~ 95,4 % der Messwerte in diesem Bereich.

 

Die Antwort auf eine weitere typische Frage "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Messwert kleiner oder gleich x ist?" liefert die kumulierte Verteilungsfunktion (engl. Cumulative Distribution Function, CDF)

Diese kann auch mit der allgemeinen Fehlerfunktion erf (x) [1]

dargestellt werden:

 

 

 Hinweise:

  • Bei der Berechnung von erf (x) kann der Parameter a weggelassen werden, da a = 0.
  • Da für den Plot zwei Integrale nacheinander rekursiv berechnet werden, muss die Summe sum bei der Berechnung von erf (x) umbenannt werden (sum2).

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Selbstverständlich lässt sich die kumulierte Häufigkeitsverteilung ϕ auch ohne erf-Funktion berechnen. Weiterhin bietet Graphing Calculator 3D die Möglichkeit, reguläre und rekursive Funktionen in einer Nutzerbibliothek abzulegen. Für φ (x) und ϕ (x) habe ich dies folgendermaßen umgesetzt:

mit der Folge, dass die Graphing Calulator 3D-Datei zur Darstellung sehr viel übersichtlicher wird: