King-Verfahren für komplexe Funktionen

R. F. King erzeugt mit der Iterationsvorschrift für komplexe Funktionen f : D   mit  D ⊆ ℂ

mit dem Parameter β gleich eine ganze Familie von 2-Schritt-Verfahren mit der Konvergenzordnung 4 und dem Effizienz-Index CE = 1.587 (s. dazu auch Iterative Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen) [1], [2].

 

MIt β = 0 ergibt sich das Ostrowski-Verfahren.

Im Folgenden sollen für komplexe Funktionen f (z) für einen Bereich B ⊆ ℂ  die Einzugsbereiche ihrer Nullstellen (Basins of Attraction) sowie die Konvergenzgeschwindigkeit berechnet (s. dazu Grundlagen) und in entsprechenden Galerien dargestellt werden.

 

Als Anfangsbereich wurde B mit Re [-2, 2} und Im [-2, 2] gewählt (Startbild in den Galerien) und dann in kleine Teilbereiche von B hinein gezoomt. Die Nullstellen der Funktionen und ihre zugeordneten Einfärbungen finden Sie unter Beispielfunktionen mit Nullstellen.

 

Durch Klicken auf die Steuerelemente oder direkt auf die Miniaturansicht sehen Sie gezoomte Teilbereiche von B. Auch lohnt sich eine vergrößerte, detailreichere Ansicht durch Klicken auf das Symbol  oder noch eine weitere Vergrößerung durch Klicken auf die erscheinende Bildschirmlupe (die Fraktale sind 1200 x 1200 Pixel groß).

 

... in Bearbeitung ...

 


Quellenverweise

 

[1]   R.F. King, A family of fourth order methods for nonlinear equations (1973),
       SIAM J. Numer. Anal. 10 (1973), (876–879), https://www.jstor.org/stable/2156321

 

[2]   J. R. Sharma et al., Improved King’s methods with optimal order of convergence based on rational
       approximations (2012), Applied Mathematics Letters
, Volume 26, Issue 4, April 2013, (473-480),
      
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0893965912004739