Diverse Verfahren

Auf dieser Seite werden diverse Verfahren zur Nullstellenbestimmung, d.h. zum Bestimmen der Lösung(en) der Gleichung f (x) = 0, kurz vorgestellt. Die Verfahren sind Weiterentwicklungen des Sekanten-, Newton- oder Halley-Verfahrens mit dem Ziel, die Konvergenzordnung und Effizienz (s. Iterative Verfahren zur Nullstellenbestimmung) zu erhöhen und/oder auf die Ableitung (oder zumindest höhere Ableitungen) durch entsprechende Approximationen zu verzichten.

 

Steffensen

Weerakoon, Fernando


Ostrowski

Das in [ ] aufgestellte Verfahren mit der Iterationsvorschrift

hat die Konvergenzordnung q = 4. Pro Iterationsschritt werden 2 Funktionswerte und eine Ableitung berechnet, woraus sich eine Effizienz CE = ergibt.

 

Um eine Version ohne Ableitung zu erhalten, kann diese durch den Vorwärts-Differenzenquotient

ersetzt werden. Somit ergibt sich ein weiteres Verfahren:

dessen Konvergenzordnung dann aber nur q = 3 beträgt.

 

Approximiert man hingegen die Ableitung durch den Zentralen Differenzenquotient

so ergibt sich das Verfahren

und die Konvergenzordnung bleibt mit q = 4.erhalten.

 

Als Beispiel soll die Nullstelle ξ = 0 der Funktion f (x) = sin ² (x) + x mit x0 = 1 und einer Genauigkeit ≤ 10-15 bestimmt werden. Die folgende Galerie zeigt die Ergebnisse für das Ostrowski-Verfahren und seine beiden ableitungsfreien Varianten.

 


Jain

Solaiman, Hashim MH1

Solaiman, Hashim MH2

Thukral

Secant Extended


Quellen

 

[ ]   A.M. Ostrowski, Solutions of Equations and Systems of Equations, Academic Press, New York, 1960

 


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