Nullstellen - Grundlagen

Nullstellen von Funktionen haben im Kontext der Funktion unterschiedlichste Bedeutungen. Beispiele hierfür sind der Aufschlagpunkt einer Wurfparabel, Stellen, an denen die Steigung der Funktion Null ist, die Temperatur, bei der Wasser gefriert, etc.

 

Im folgenden werden nur Funktionen betrachtet, die auf dem rellen Zahlenkörper |R definiert sind und insbesondere deren reelle Nullstellen.

 

Geometrisch gesehen ist die Nullstelle einer Funktion f die Stelle auf der x-Achse, an denen der Funktionsgraph die x-Achse schneidet oder berührt.

 

Algebraisch sind die Nullstellen einer Funktion f die Lösungen der Gleichung f (x) = 0.

 

Funktionen können keine, eine, mehrere und sogar unendlich viele Nullstellen (s. Grafik rechts).


Mehrfache Nullstelle

Eine Funktion kann mehrfache Nullstellen besitzen.
So hat z.B. die Funktion f (x) = – x6 – x5 + 4x4 + 2x3 – 5x2 – x + 2 in der Grafik rechts bei x1 = -2 eine einfache, bei x2 = -1 eine doppelte und bei x3 = 1 eine dreifache Nullstelle.

 

Es gilt:

  • Eine stetige und an der Stelle x0 differenzierbare Funktion f hat bei x0 eine mehrfache Nullstelle, wenn dort die Steigung 0 ist, wenn also f ' (x0) = 0 gilt.

Ist f öfter differenzierbar, lässt sich diese Bedingung mehrfach wiederholen und es gilt für eine natürliche Zahl k:

  • Eine (mindestens) k-mal differenzierbare Funktion hat in x0 eine k-fache Nullstelle, wenn f selbst und die ersten k-1 Ableitungen von f an der Stelle x0 den Wert 0 annehmen und die k-te Ableitung ungleich 0 ist: f (x0) = 0, f '(x) = 0, f ''(x) = 0, …, f (k-1)(x0) = 0, f (k)(x0) 0

Für die obige 6-mal differenzierbare Funktion gilt: 

f (x)    = – x6 – x5 + 4x4 + 2x3 – 5x2 – x + 2     f (-2) = 0             f (-1)  = 0             f (1)   = 0

f ' (x)  = – 6x5 – 5x4 + 16x3 + 6x2 – 10x – 1     f '(-2) = 27 0     f '(-1)  = 0            f '(1)  = 0

f ''(x)  = – 30x4 – 20x3 + 48x2 + 12x – 10                                    f ''(-1) = 16 0     f ''(1) = 0

f '''(x) = – 120x3 – 60x2 + 96x + 12                                                                         f '''(1) = -72 0

 


Nullstellen von Polynomen

Für ein Polynom vom Grad (höchste vorkommende Potenz) n, d.h. für eine Funktion f der Struktur

wobei a0, …, an reelle und die Exponenten natürliche Zahlen sind, gelten folgende Aussagen:

  • Ein Polynom vom Grad n kann höchstens eine n-fache Nullstelle besitzen.
  • Ein Polynom vom Grad n kann höchstens n Nullstellen besitzen.
  • Ist der Grad n ungerade, so hat hat das Polynom mindestens eine Nullstelle.
  • Ist der Grad n gerade, so kann das Polynom keine Nullstelle besitzen.
  • Hat ein Polynom vom Grad n an der Stelle x0 eine Nullstelle, dann lässt sich ein Linearfaktor (x - x0) abspalten, so dass gilt: f (x) = (x - x0) g (x). Das Polynom g (x) hat dann nur noch den Grad n-1.

Bezüglich der letzten Aussage lässt sich dass Polynom g (x) (sog. Restpolynom) mittels einer Polynomdivision ermitteln: f (x) : (x - x0) = g (x).

Dieses Verfahren macht Sinn für Polynome mit einem Grad größer oder gleich 3, da sich die Gleichung
f (x) = 0 für Polynome vom Grad 1 (lineare Funktion) einfach per Termumformung und für Polynome vom Grad 2 (quadratische Funktion) z.B. mit der "pq-Formel" lösen lässt.

 

Hat g auch mindestens eine weitere Nullstelle, so kann dieses Verfahren erneut angewandt werden. Die obige Beispielfunktion kann so vollständig in Linearfaktoren zerlegt werden, so dass man sofort die Nullstellen und deren Vielfalt ablesen kann:

 

f (x) = (x + 2) (x + 1) (x + 1) (x  - 1) (x  - 1) (x  - 1).

 

Das Auffinden ganzzahliger Nullstellen für die Polynomdivision kann sehr mühselig sein. Die Auswahl solcher Nullstellen wird durch folgende Aussage eingeschränkt:

  • Sind bei einem Polynom die Koeffizienten a0, …, an alle ganzzahlig, so ist jede ganzzahlige Nullstelle ein Teiler von a0 .

Für die obige Funktion sind z.B. {-2, -1, 1, 2} die Teiler von a0; bis auf den Wert 2 lassen sich diese Teiler für die Polynomdivision verwenden.

 

Die letzte Aussage bedeutet nicht, dass die Nullstellen von f auch ganzzahlig sind. So hat z.B. die Funktion
f (x) = x² - 2  nur ganzzahlige Koeffizienten, ihre beiden Nullstellen sind aber irrational:
x0 = - √2, x1 = √2.

 

Lässt sich, wie z.B. bei der Funktion f (x) = x³ - 2x + 2 keine ganzzahlige Nullstelle finden, um das Polynom zu reduzieren, so kann man für diese Funktion auf die Cardanischen Formeln zum Lösen einer kubischen Gleichung zurückgreifen - ein zugegebenermaßen recht mühseliger Weg:

 


Nullstellen bestimmen mit numerischen Verfahren

Für beliebige Funktionen lässt sich die Gleichung f (x) = 0 mit numerischen Verfahren lösen, wie z.B. mit dem Newton-Verfahren, dem Sekantenverfahren. oder dem Halley-Verfahren.

 

Bei all diesen Verfahren wird - ausgehend von einem oder mehreren Startpunkten in der Nähe der vermuteten Nullstelle(n) - eine Iteration durchgeführt, die im günstigen Fall nach einigen wenigen Schritten  gegen die Nullstelle(n) konvergiert.

 

Eine ausführliche Übersicht der numerischen Verfahren zur Nullstellenbestimmung findet man bei [1] und [2].


Nullstellen bestimmen mit Graphing Calculator 3D

Da der Graphing Calculator 3D implizite Gleichungen lösen kann, lassen sich mittels f (x) = 0 auch die Nullstellen von f bestimmen. Als Beispiel diene die Funktion f (x) =   mit den Nullstellen {-2, -1, 1, 2, 3}:

 

GC3D liefert bei einer Plot-Auflösung von 100 für den x-Bereich [-4, 4] die folgenden Lösungen:

 

{-1.9999667…, -0.9999980…, 1.0000157…, 1.9999891…, 2.9999787…}.

 

Die Genauigkeit lässt sich noch verbessern, indem man einen engen x-Bereich um die Nullstellen legt und die Plot-Auflösung entsprechend hoch wählt.

 

Nachteilig ist, dass der Graphing Calculator 3D in einigen Fällen trotz hoher Auflösung nicht unbedingt sämtliche Lösungen findet und dass man die Lösungen aus der Wertetabelle für den Plot entnehmen muss und diese nicht in Variablen zur Verfügung stehen, mit denen man direkt weitere Berechnngen durchführen kann. Hierfür greift man besser auf numerische Verfahren (s.o.) zurück.