Tiruneh-Verfahren

Ein sehr interessantes und effizientes Verfahren, das auf dem Newton-Verfahren basiert, wurde 2013 von Tiruneh et al. vorgestellt [1]. Das Verfahren hat ein superquadratisches Konvergenzverhalten und liefert Ergebnisse auch in Fällen, bei denen es mit dem Newton- oder Sekantenverfahren zu Problemen kommt, wie z.B. sehr langsame Konvergenz, Divergenz, Oszillation und Sprünge (aus dem Bereich der gesuchten Nullstelle heraus) oder "Absturz" des Newton-Verfahren, falls die Ableitung im Iterationspunkt den Wert 0 annimmt.     

Tiruneh-Verfahren - Anfangsbedingung

Bei diesem Verfahren wird außer dem Startpunkt
(x0 | f(x0)) noch ein weiterer Punkt (x1 | f(x1)) benötigt. Diese werden durch eine Linie verbunden, und es wird eine neue Variable m eingeführt, die identisch mit dem Cotangens des Winkels α1 im entstehenden Dreieck ist (s. Grafik):

Tiruneh-Verfahren - Anfangsbedingung

bzw. allgemeiner für alle Punkte (x | y) auf dem Funktionsgraphen

Tiruneh-Verfahren - Anfangsbedingung    

Als nächstes wird das Newton-Verfahren angewendet, wobei m als unabhängige Variable und y als abhängige Variable verwendet wird. Hiebei ist mr der Schätzwert der Nullstelle von y (m) = 0 mit dem entsprechenden Wert xr:

durch Einsetzen und Umformen aller beteiligten Größen (s. bei [1]) ergibt sich schließlich folgende Iterationsvorschrift:

mit i = 1, 2, 3, ...

 

Konvergenzbetrachtungen

Das Verfahren konvergiert superquadratisch, d.h. q  = 1+√2 ≈ 2.414 (Beweis s. [1], S. 3). Bis auf den ersten Schritt mit der Berechnung zweier Funktionswerte werden pro Iterationsschritt ein Funktionswert und eine Ableitung berechnet, woraus sich eine Effizienz von CE = 1.554 ergibt.

 

 


Quellen

 

[1]