Nullstellenbestimmung - Verfahrensvergleich

Konvergenzordnung und Effizienz

In der folgenden Grafik sind die auf meiner Webseite aufgeführten Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen einer Funktion f bezüglich ihrer Konvergenzordnung q und ihrer Effizienz CE positioniert.

 

Darüber hinaus zeigt eine entsprechende Einfärbung an, ob es sich um ein ableitungsfreies Verfahren () handelt oder ob die erste Ableitung () bzw. die erste und zweite Ableitung () der Funktion f verwendet werden.

Hinweis:

Um die CE-Werte in der obigen Grafik besser vergleichen zu können, wurden die Werte gerundet dargestellt, die sich ergeben gemäß:

1.260 ≈ 21/3 , 1.414 ≈ 21/2 , 1.431 ≈ 61/5 , 1.442 ≈ 31/3 , 1.495 ≈ 51/4 , 1.495 ≈ 51/4 ,1.554 ≈ (1+√2)1/2 , 1.565 ≈ 61/4 , 1.587 ≈ 41/3 ,   1.618 ≈ Φ .

 

Numerische Beispiele

Die folgenden Tabellen zeigen für ausgewählte Funktionen f mit einer einfachen Nullstelle ξ für die oben aufgeführten Verfahren und zu einem gewählten Startwert x0 jeweils an:

 

N :               Anzahl der benötigten Iterationsschritte

xN – xN-1 :   Differenz zwischen N-tem Schritt und Vorgänger

f (xN) :         Funktionswert im N-ten Schritt

COC (xN) :  Computational Order of Convergence im N-ten Schritt

CE:              Effizienz

 

Als Abbruchkriterium der Iteration wurde für alle Verfahren  | xi – xi-1 | ≤ 10-15 gewählt.