Nullstellenbestimmung - Verfahrensvergleich

Die Besonderheiten der auf meiner Webseite betrachteten drei Verfahren Sekanten-, Newton- und Halley-Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen einer reellen Funktion sind in folgender Tabelle zusammengestellt.

 

 

Im folgenden wird für einige Funktionen das unterschiedliche Verhalten der Verfahren dargestellt ...

 

•  f (x) = x5 - 3x4 - 5x3 + 15x2 + 4x - 12

 

 

 

 

 

 

Das Poylnom hat die einfachen Nullstellen {-2, -1, 1, 2, 3}.

Sekantenverfahren

Newton-Verfahren

Halley-Verfahren



•  f (x) = x4 - x2 - 1

 

 

 

 

 

Das Polynom hat die Nullstellen {-1.272..., 1.272...}.

 

Bei x = -½ √2 und x = ½ √2 liegen lokale Minima (Tiefpunkte),

bei x = 0 liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt).  

 

Sekantenverfahren

x0 aus [-2.5, 2.5] (500 Punkte)

w = xi+1 - xi = 1.6

in allen Intervallen [xi, xi+1] liegt stets eine Nullstelle der Funktion, dennoch Divergenz in einigen Bereichen

Newton-Verfahren

Divergenz bei x = 0 (f hat dort ein relatives Maximum)

Halley-Verfahren

"Springen" zwischen den Nullstellen N1 und N2 im Bereich zwischen den Extremwerten; Divergenz bei x = 0 (f hat dort ein relatives Maximum)



•  f (x) = 5 (x+1) x² (x-1)³

 

 

 

 

Das Polynom hat eine einfache Nullstelle bei x = -1,

eine doppelte Nullstelle bei x = 0

und eine dreifache Nullstelle (Terassenpunkt) bei x = 1.

Sekantenverfahren

Newton-Verfahren

Halley-Verfahren



•  f (x) = sin (x)

Sekantenverfahren

Newton-Verfahren

Halley-Verfahren



•  f (x) = x3 - 2x + 1

Sekantenverfahren

Newton-Verfahren

Halley-Verfahren