Riemann-Summe

 

Längen-, Flächen- und Volumenberechnungen (bzw. allgemein Inhaltsberechnungen) waren/sind eine der Haupttriebkräfte  bei der Entwicklung der modernen Analysis. Auf dieser Seite geht es um die Inhaltsbestimmung einer Fläche zwischen dem Funktionsgraph einer reellwertigen Funktion f mit der reellen Veränderlichen x und der x–Achse. Dazu gibt es in der modernen Analysis unterschiedliche Wege, die nicht äquivalent sind.

 

 

 

Hier wird das sogenannte Riemann–Integral betrachtet. Das zugrundeliegende Konzept besteht darin, den gesuchten Flächeninhalt mit Hilfe leicht zu berechnender Flächeninhalte von Rechtecken anzunähern.

 

 

 

Man geht dabei so vor, dass man in jedem Schritt zwei Familien von Rechtecken so wählt, dass der Graph der Funktion "zwischen" ihnen liegt. Indem man sukzessive die Anzahl der Rechtecke erhöht, erhält man mit der Zeit eine immer genauere Annäherung des Funktionsgraphen durch die zu den Rechtecken gehörenden Treppenfunktionen. Entsprechend lässt sich der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse durch die Flächeninhalte der Rechtecke approximieren.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"Linke" Summe:

 

Riemann Untersumme (Left Riemann Sum)

"Rechte" Summe:

 

Riemann Obersumme (Right Riemann Sum)

Mittelpunktsumme:

 

Riemann Mittelpunktsumme (Midpoint Riemann Sum)