Visualisierung komplexwertiger Funktionen

Eine Abbildung

heißt komplexwertige Funktion oder auch komplexe Funktion (die Verwendung der Begriffe ist in der Literatur nicht eindeutig; manchmal wird der komplexwertigen Funktion ein Zusatz angehängt, um zu präzisieren, welche Struktur die Definitionsmenge hat, s. dazu [1]). Hierbei ist die Menge D der Definitionsbereich und die Menge W aller Funktionswerte der Wertebereich der Funktion.

 

Zerlegt man Argument und Funktionswert von f  in ihren jeweiligen Real- und Imaginärteil

 z = x + y ∙ i,  w = u + v ∙ i  mit  x, y, u, v

so lassen sich u und v als reelle Funktionen der beiden reellen Variablen x und y auffassen: 

u = u (x, y)  und  v = v (x, y).

Mithin ergibt sich eine Abbildung von ℝ² nach ℝ² :

f : D ℝ² → W ℝ² : (x ,y) (u, v)

d.h. wir haben es mit vier reellen Variablen zu tun.

 

Bei einer Funktion  f (x, y)  mit zwei reellen unabhängigen Variablen lässt sich ein Funktionswert z = f (x, y) als "Höhe" eines Punktes über der x/y-Ebene darstellen, und die Gesamtheit der Funktionswerte bildet eine Fläche (ein "Gelände", engl. landscape) im Raum (s. 3D Flächen). Bei Funktionen mit einer komplexen Variablen hingegen sind die Funktionswerte ebenfalls komplexe Zahlen. Die zuvor beschriebene Art der Darstellung ist nicht möglich – es fehlt einfach eine Dimension.

 

Für eine Visualisierung gibt es nun prinzipiell zwei Möglichkeiten.

 

3D Darstellung

 

Hierbei werden die komplexen Funktionswerte f (z) auf reelle Werte heruntergebrochen. In einem Koordinatensystem befindet sich in der x/y-Ebene ein Bereich B D.  Auf der z-Achse  können dann für
z B dargestellt werden:

Darstellung einer komplexen Zahl z

2D Darstellung mit Hilfe der Polarkoordinaten

 

Diese Art der Visualisierung beruht auf der Darstellung einer komplexen Zahl z in Polarkoordinaten:

Darstellung einer komplexen Zahl z

Jedem Punkt  z B D  in der Gauß'schen Zahlenebene kann dann für f (z) der Winkel φ als Farbe und der Betrag r als Farbsättigung oder Contour-Linie zugeordnet werden. Auch hier gibt es mehrere Varianten der dargestellten Größe(n):

  • Phase
  • Betrag
  • Phase mit Betrag
  • Rocchini Plot