Zwei-Schritt-Verfahren (two-step methods)

  • Ostrowski-Verfahren (komplex)
  • Kou-Li-Wang-Verfahren (komplex)
  • Chun I -Verfahren (komplex)
  • King-Verfahren (komplex)
  • Chun II -Verfahren (komplex)
  • Chun III -Verfahren (komplex)
  • Feng-Verfahren (komplex)
  • Contra Harmonic Newton-Verfahren (komplex)
  • Fang-Ni-Cheng-Verfahren (komplex)
  • Rafiq-Rafiullah-Verfahren (komplex)
  • Sharma-Bahl-Verfahren (komplex)
  • Chun-Lee-Neta-Verfahren (komplex)

Ostrowski-Verfahren für komplexe Funktionen

Das Ostrowski-Verfahren ist ein 2-Schritt-Verfahren und beruht für komplexe Funktionen f : D   mit  D ⊆ ℂ auf der Iterationsvorschrift

Für weitere Details, Konvergenzordnung q und Effizienzindex CE siehe Ostrowski-Verfahren für reelle Funktionen.


Kou-Li-Wang-Verfahren für komplexe Funktionen

Kou, Li und Wang stellten zur Nullstellenbestimmung komplexer Funktionen f : D   mit  D ⊆ ℂ folgende Iterationsvorschrift auf:

Es handelt sich um ein 2-Schritt-Verfahren mit der Konvergenzordnung q = 4 und dem Effizienz-Index CE = 1.587.

 

Das Verfahren ist identisch mit dem King-Verfahren für β = 1.

 

Quellenverweise

 

[1]   J. Kou, Y. Li, X. Wang (2007), A composite fourth-order iterative method for solving non-linear
       equations,
Applied Mathematics and Computation, Vol. 184, Issue 2, Jan. 2007, (471-475)
       https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.05.181


Chun-Verfahren (I) für komplexe Funktionen

In [1] (Gleichung 10) publizierte C. Chun ein Verfahren zur Nullstellenbestimmung, das für komplexe Funktionen f : D   mit  D ⊆ ℂ auf folgender Iterationsvorschrift basiert: 

         

Es besitzt die Konvergenzordnung q = 4 bei einem Effizienzindex CE = 1.414.
Das Verfahren ist identisch mit dem King-Verfahren für β = 2.

 

Quellenverweise

 

[1]   C. Chun (2005), Iterative Methods Improving Newton's Method by the Decomposition Method,
       Computers
and Mathematics with Applications 50 (2005) 1559-1568,
       doi:10A016/j.camwa.2005.08.022


King-Verfahren für komplexe Funktionen

R. F. King [1], [2] erzeugt für komplexe Funktionen f : D   mit  D ⊆ ℂ mit der Iterationsvorschrift

und dem Parameter β eine Familie von 2-Schritt-Verfahren mit der Konvergenzordnung q = 4 und dem Effizienz-Index CE = 1.587 (s. dazu auch Iterative Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen).

 

Für einige Werte β von  ergeben sich folgende andere Verfahren:

Quellenverweise

 

[1]   R.F. King, A family of fourth order methods for nonlinear equations (1973),
       SIAM J. Numer. Anal. 10 (1973), (876–879), https://www.jstor.org/stable/2156321

 

[2]   J. R. Sharma et al. 2012), Improved King’s methods with optimal order of convergence based on
       rational
approximations, Applied Mathematics Letters
, Volume 26, Issue 4, April 2013, (473-480),
      
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0893965912004739


Chun-Verfahren (II) für komplexe Funktionen

Das von C. Chung entwickelte zweistufige Verfahren [1] ist eine Weiterentwicklung des Newton-Verfahren mit der Konvergenzordnung 3 und dem Effizienzindex CE = 1.316. (s. dazu auch Iterative Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen). Angewandt auf komplexe Funktionen f : D   mit  D ⊆ ℂ lautet die Iterationsvorschrift:

Quellenverweise

 

[1]   C. Chun (2006), Construction of Newton-like iteration methods for solving nonlinear equations,
       Numer. Math. (2006) 104: 297–315, DOI 10.1007/s00211-006-0025-2


Chun-Verfahren (III) für komplexe Funktionen

Eine Weiterentwicklung des Newton-Verfahren von C. Chung ist das zweistufige Verfahren (s. [1], Gleichung (57) mit h = -1) mit folgender Iterationsvorschrift für komplexe Funktionen f : D   mit  D ⊆ ℂ:

Es besitzt die Konvergenzordnung 3 und den Effizienzindex CE = 1.442 (s. dazu auch Iterative Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen).

 

Quellenverweise

 

[1]   C. Chun, Construction of Newton-like iteration methods for solving nonlinear equations, Numer. Math,
      
104 (2006), 297-315


Feng-Verfahren für komplexe Funktionen

Das von J. Feng aufgestellte 2-stufige Verfahren basiert für komplexe Funktionen f : D   mit  D ⊆ ℂ auf der Iterationsvorschrift [1]:  

Es besitzt lediglich quadratische Konvergenz und hat den Effizienzfaktor CE = 1.189 (s. dazu auch Iterative Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen).

 

Quellenverweise

 

[1]   J. Feng, A New Two-step Method for Solving Nonlinear Equations (2009),
       International Journal of Nonlinear Science, Vol.8 (2009) No.1, (40-44)


Contra Harmonic Newton-Verfahren

In [1] stellt der Verfasser eine Erweiterung des Newton-Verfahrens vor, das er auf Grund des verwendeten Mittelwertes "Contra Harmonic Newton-Verfahren" nennt (s. auch [2] zum contra-harmonischen Mittelwert). Das zweistufige Verfahren hat für komplexe Funktionen f : D   mit  D ⊆ ℂ die Iterationsvorschrift

und besitzt die Konvergenzordnung 3 bei einem Effizienzindex von CE = 1.442.

 

Quellenverweise

 

[1]   O. Y. Ababneh (2012),

New Newton’s Method with Third-order Convergence for Solving Nonlinear Equations (2012),

International Journal of Mathematical and Computational Sciences, Vol. 6, No. 1, 2012,

https://publications.waset.org/13005/pdf

 

[2]   https://en.wikipedia.org/wiki/Contraharmonic_mean


Fang-Ni-Cheng-Verfahren für komplexe Funktionen

Das von Fang et al. publizierte Verfahren Zweischritt-Verfahren zur Nullstellenbestimmung hat für komplexe Funktionen f : D   mit  D ⊆ ℂ folgende Iterationmsvorschrift:

Es besitzt die Konvergenzordnung q = 4 bei einem Effizienzindex CE = 1.414.

 

Quellenverweise

 

[1]   L. Fang, L. Ni, R. Chen (2013), Three Modified Efficient Iterative Methods for Non-linear Equations,
      
Mathematical Computation, March 2013, Volume 2, Issue 1, (6-12)
       http://www.ivypub.org/MC/paperinfo/3415.shtml


Rafiq-Rafiullah-Verfahren für komplexe Funktionen

In [1] entwickeln die Autoren ein Zwei-Schritt-Verfahren zur Nullstellenbestimmung ("Algorithmus 2"), das für komplexe Funktionen f : D   mit  D ⊆ ℂ folgende Iterationsvorschrift besitzt: 

Das Verfahren besitzt die Konvergenzordnung q = 3 bei einem Effizienzindex CE = 1.316.

 

Quellenverweise

 

[1]    A. Rafiq, M. Rafiullah (2009), Some multistep iterative methods for solving nonlinear equations,
        Computers and Mathematics with Applications, 58(2009),1589–1

        https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0898122109004672     


Sharma-Bahl-Verfahren für komplexe Funktionen

In [1] (Gleichung 16) präsentieren R. Sharma und A. Bahl ein 2-Schritt-Verfahren mit folgender Iterationsvorschrift für komplexe Funktionen f : D   mit  D ⊆ ℂ 

Der Zwischenschritt (predictor) beruht hier auf einem mit dem Faktor 2/3 modifizierten Newton-Schritt.

Das Verfahren hat die Konvergenzordnung q = 4 bei einem Effizienzindex CE = 1.587.

 

Quellenverweise

 

[1]    R. Sharma, A. Bahl (2015),
        An Optimal Fourth Order Iterative Method for Solving Nonlinear Equations and Its Dynamics,
       Journal of Complex Analysis, Vol. 2015, Article ID 259167, http://dx.doi.org/10.1155/2015/259167


Chun-Lee-Neta-Verfahren für komplexe Funktionen

C. Chun, M.Y. Lee und B. Neta leiteten ein Verfahren für die Nullstellenbestimmung her [1] (Gleichung 24), das angewandt auf komplexe Funktionen f : D   mit  D ⊆ ℂ auf folgender Iterationsvorschrift beruht:

 

Der Zwischenschritt (predictor) beruht hier - wie auch beim Verfahren von Sharma-Bahl auf einem mit dem Faktor 2/3 modifizierten Newton-Schritt.

Das Verfahren hat die Konvergenzordnung q = 4 bei einem Effizienzindex CE = 1.587.

 

Quellenverweise

 

[1]    C. Chun, M. Y. Lee, B. Neta (2012),
        On optimal fourth-order iterative methods free from second derivative and their dynamics,
        Applied Mathematics and Computation 218 (2012) 6427–6438