Das Ostrowski-Verfahren ist ein 2-Schritt-Verfahren und beruht für komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ auf der Iterationsvorschrift
Für weitere Details, Konvergenzordnung q und Effizienzindex CE siehe Ostrowski-Verfahren für reelle Funktionen.
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Kou, Li und Wang stellten zur Nullstellenbestimmung komplexer Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ folgende Iterationsvorschrift auf:
Es handelt sich um ein 2-Schritt-Verfahren mit der Konvergenzordnung q = 4 und dem Effizienz-Index CE = 1.587.
Das Verfahren ist identisch mit dem King-Verfahren für β = 1.
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Quellenverweise
[1] J. Kou, Y. Li, X. Wang (2007), A composite fourth-order iterative method for solving non-linear
equations, Applied Mathematics and Computation, Vol. 184, Issue 2, Jan. 2007, (471-475)
https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.05.181
In [1] (Gleichung 10) publizierte C. Chun ein Verfahren zur Nullstellenbestimmung, das für komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ auf folgender Iterationsvorschrift basiert:
Es besitzt die Konvergenzordnung q = 4 bei einem Effizienzindex CE = 1.414.
Das Verfahren ist identisch mit dem King-Verfahren für β = 2.
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Quellenverweise
[1] C. Chun (2005), Iterative Methods Improving Newton's Method by the Decomposition Method,
Computers and Mathematics with Applications 50 (2005) 1559-1568,
doi:10A016/j.camwa.2005.08.022
R. F. King [1], [2] erzeugt für komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ mit der Iterationsvorschrift
und dem Parameter β eine Familie von 2-Schritt-Verfahren mit der Konvergenzordnung q = 4 und dem Effizienz-Index CE = 1.587 (s. dazu auch Iterative Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen).
Für einige Werte β von ergeben sich folgende andere Verfahren:
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Quellenverweise
[1] R.F. King, A family of fourth order methods for nonlinear equations (1973),
SIAM J. Numer. Anal. 10 (1973), (876–879), https://www.jstor.org/stable/2156321
[2] J. R. Sharma et al. 2012),
Improved
King’s methods with optimal order of convergence based on
rational approximations, Applied Mathematics
Letters, Volume 26, Issue 4, April 2013, (473-480),
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0893965912004739
Das von C. Chung entwickelte zweistufige Verfahren [1] ist eine Weiterentwicklung des Newton-Verfahren mit der Konvergenzordnung q = 3 und dem Effizienzindex CE = 1.316. (s. dazu auch Iterative Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen). Angewandt auf komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ lautet die Iterationsvorschrift:
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Quellenverweise
[1] C. Chun (2006), Construction of Newton-like iteration methods for solving nonlinear equations,
Numer. Math. (2006) 104:
297–315, DOI
10.1007/s00211-006-0025-2
Eine Weiterentwicklung des Newton-Verfahren von C. Chung ist das zweistufige Verfahren (s. [1], Gleichung (57) mit h = -1) mit folgender Iterationsvorschrift für komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ:
Es besitzt die Konvergenzordnung q = 3 und den Effizienzindex CE = 1.442 (s. dazu auch Iterative Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen).
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Quellenverweise
Das von J. Feng aufgestellte 2-stufige Verfahren basiert für komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ auf der Iterationsvorschrift [1]:
Es besitzt lediglich quadratische Konvergenz (q = 2) und hat den Effizienzfaktor CE = 1.189 (s. dazu auch Iterative Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen).
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Quellenverweise
[1] J. Feng, A New Two-step Method for Solving Nonlinear Equations
(2009),
International Journal of Nonlinear Science, Vol.8 (2009) No.1, (40-44)
In [1] stellt der Verfasser eine Erweiterung des Newton-Verfahrens vor, das er auf Grund des verwendeten Mittelwertes "Contra Harmonic Newton-Verfahren" nennt (s. auch [2] zum contra-harmonischen Mittelwert). Das zweistufige Verfahren hat für komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ die Iterationsvorschrift
und besitzt die Konvergenzordnung q = 3 bei einem Effizienzindex von CE = 1.442.
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Quellenverweise
[1] O. Y. Ababneh (2012),
New Newton’s Method with Third-order Convergence for Solving Nonlinear Equations (2012),
International Journal of Mathematical and Computational Sciences, Vol. 6, No. 1, 2012,
https://publications.waset.org/13005/pdf
Kung und Traub stellten 1974 ein zweistufiges Iterationsverfahren vor mit folgender Iterationsvorschrift für komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ:
Mit der Konvergenzordnung q = 4 und dem Effizienzindex CE = 1.587 ist es ein optimales Verfahren.
Quellenverweise
[1] H. T. Kung, J. F. Traub,
(1974), Optimal Order of One-Point and Multipoint Iteration,
Journal of the ACM 21(4), 643-651, DOI: 10.1145/321850.321860
Das von Fang et al. publizierte Verfahren Zweischritt-Verfahren zur Nullstellenbestimmung hat für komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ folgende Iterationmsvorschrift:
Es besitzt die Konvergenzordnung q = 4 bei einem Effizienzindex CE = 1.414.
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Quellenverweise
[1] L. Fang, L. Ni, R. Chen (2013), Three Modified Efficient Iterative Methods for Non-linear Equations,
Mathematical Computation, March 2013, Volume 2, Issue 1, (6-12)
http://www.ivypub.org/MC/paperinfo/3415.shtml
In [1] entwickeln die Autoren ein Zwei-Schritt-Verfahren zur Nullstellenbestimmung ("Algorithmus 2"), das für komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ folgende Iterationsvorschrift besitzt:
Das Verfahren besitzt die Konvergenzordnung q = 3 bei einem Effizienzindex CE = 1.316.
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Quellenverweise
[1] A. Rafiq, M. Rafiullah (2009), Some multistep iterative methods for solving nonlinear equations,
Computers and Mathematics with Applications, 58(2009),1589–1
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0898122109004672
Die Verfasser konstruieren in [1] neue Verfahren basierend auf einer geometrischen Herangehensweise, ähnlich wie der mit der Tangente beim Newton-Verfahren und einer Hyperbel beim Halley-Verfahren (s. die dortigen Animationen). Hierbei nehmen sie aber den Krümmungskreis zur Hilfe, der im Punkt (xn | yn) die gleiche Tangente wie die Funktion f besitzt. Die dabei erforderliche zweite Ableitung f '' approximieren sie durch den Differenzenquotienten (s. Differential/Ableitung) und erhalten schliesslich die folgende Iterationsvorschrift für komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ :
Das Verfahren besitzt die Konvergenzordnung q = 3, der Effizienzindex beträgt CE = 1.442.
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Quellenverweise
[1] C. Chun · Y. I. Kim, Several New Third-Order Iterative Methods for Solving Nonlinear Equations (2010),
Acta Appl. Math. (2010) 109: 1053–1063, DOI 10.1007/s10440-008-9359-3
Das hier aufgeführte Verfahren beruht auf dem Chun-Kim I -Verfahren, indem die zweite Ableitung f '' durch den Differenzenquotienten (s. Differential/Ableitung) approximiert wird. Es ergibt sich somit die folgende Iterationsvorschrift für komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ :
Das Verfahren besitzt die Konvergenzordnung q = 3, der Effizienzindex beträgt CE = 1.442.
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Quellenverweise
[1] C. Chun · Y. I. Kim, Several New Third-Order Iterative Methods for Solving Nonlinear Equations (2010),
Acta Appl. Math. (2010) 109: 1053–1063, DOI 10.1007/s10440-008-9359-3
In [1] (Gleichung 16) präsentieren R. Sharma und A. Bahl ein 2-Schritt-Verfahren mit folgender Iterationsvorschrift für komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ
Der Zwischenschritt (predictor) beruht hier auf einem mit dem Faktor 2/3 modifizierten Newton-Schritt.
Es handelt sich um ein optimales Verfahren mit der Konvergenzordnung q = 4 und einem Effizienzindex CE = 1.587.
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Quellenverweise
[1] R. Sharma, A. Bahl (2015),
An Optimal Fourth Order Iterative Method for Solving Nonlinear Equations and Its Dynamics,
Journal of Complex Analysis, Vol. 2015, Article ID 259167, http://dx.doi.org/10.1155/2015/259167
C. Chun, M.Y. Lee und B. Neta leiteten ein Verfahren für die Nullstellenbestimmung her [1] (Gleichung 24), das angewandt auf komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ auf folgender Iterationsvorschrift beruht:
Der Zwischenschritt (predictor) beruht hier - wie auch beim Verfahren von Sharma-Bahl auf einem mit dem Faktor 2/3 modifizierten Newton-Schritt. Das Verfahren hat die Konvergenzordnung q = 4 bei einem Effizienzindex CE = 1.587 und ist somit ein optimales Verfahren.
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Quellenverweise
[1] C. Chun, M.
Y. Lee, B. Neta (2012),
On optimal fourth-order iterative methods free from second derivative and their dynamics,
Applied Mathematics and Computation 218 (2012) 6427–6438