Die Normal- oder Gauß-Verteilung (auch Gauß'sche Glockenkurve genannt) ist ein wichtiger Typ stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Für viele natur-, wirtschafts- und ingenieurswissenschaftliche Vorgänge lassen sich die Abweichungen der Messwerte vom Mittelwert durch die Normalverteilung exakt oder wenigstens in sehr guter Näherung beschreiben.
Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte beträgt
wobei µ der Erwartungswert und σ² die Varianz ist.
Um die typische Frage "Wie viele der Messwerte liegen im Bereich µ ± Vielfaches von σ ?" (weißer Bereich im folgenden Plot) zu klären, muss das Integral
berechnet werden mit a = µ - ns • σ und b = µ + ns • σ.
Da für dieses Integral keine Stammfunktion in geschlossener Form existiert, muss es numerisch berechnet werden:
Für [µ-σ, µ+σ], d.h. ns = 1, beträgt das Ergebnis ~ 68.3 %; für [µ-2σ, µ+2σ], d.h. ns = 2, liegen bereits ~ 95,4 % der Messwerte in diesem Bereich.
Die Antwort auf eine weitere typische Frage "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Messwert kleiner oder gleich x ist?" liefert die kumulierte Verteilungsfunktion (engl. Cumulative Distribution Function, CDF)
Diese kann auch mit der allgemeinen Fehlerfunktion erf (x) [1]
dargestellt werden:
Hinweise:
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Selbstverständlich lässt sich die kumulierte Häufigkeitsverteilung ϕ auch ohne erf-Funktion berechnen. Weiterhin bietet Graphing Calculator 3D die Möglichkeit, reguläre und rekursive Funktionen in einer Nutzerbibliothek abzulegen. Für φ (x) und ϕ (x) habe ich dies folgendermaßen umgesetzt:
mit der Folge, dass die Graphing Calulator 3D-Datei zur Darstellung sehr viel übersichtlicher wird: