Superformel
Der belgische Wissenschaftler Johan Gielis spezialisierte sich auf die Biotechnologie und beschäftigt sich insbesondere mit der mathematischen Modellierung von Pflanzen. 1997 veröffentlichte er die Superformel und liess diese später sogar patentieren [1].
DieSuperformel erzeugt eine 2D-Figur (Kurve), wobei es sich um die Verallgemeinerung der Lamé'schen Kurve ("Superellipse", ein "Mittelding" zwischen Rechteck und Ellipse) handelt. Mit der Superformel lässt sich eine riesige Vielfalt organisch wirkender Formen unterschiedlicher Symmetrie (s.u.) durch Änderung nur weniger Parameter erzeugen.
In Polarkoordinaten r und mit -π ≤ φ ≤ π lautet die Formel
Hierbei bestimmen m die Symmetrie, n1, n2 und n3 die Form, a und b die Größe der Halbachsen.
Die folgende Bildergalerie zeigt einige Figuren, die ich mit Graphing Calculator 3D erzeugt habe. Hierbei wurde die Möglichkeit des Programms genutzt, auch Ungleichungen darstellen zu können, so dass die Fläche unter der Kurve farblich gefüllt werden kann.
Für ein Objekt sind dazu zwei Ungleichungen für den oberen und unteren Anteil der Figur (s. Bild rechts) erforderlich:
█ r < Superformel mit 0 ≤ φ ≤ π 0 ≤ r ≤ 1
█ r > Superformel mit -π ≤ φ ≤ 0 -1 ≤ r ≤ 0
Ersetzt man den Parameter m durch zwei verschiedene Parameter m1 und m2, so entstehen rotationsunsymmetrische Figuren wie die ersten fünf in der folgenden Bildergalerie.
Bei den dann folgenden nächsten vier Figuren in der Galerie wurde der Radius r mit einer anderen Funktion (hier: e 0.2 φ ) moduliert. Beim letzten Bild wurde r einfach nur mit φ multipliziert (0 ≤ φ ≤ 50).
Für die obigen Formen habe ich keine Parameterwerte angegeben. Der wirkliche Spaß besteht im eigenen Experimentieren mit oftmals überraschenden Ergebnissen; der interessierte Leser möge sich die Graphing Calculator 3D-Datei unten downloaden. Viele Formen mit Parameterwerten finden sich auch in der Patentschrift von Gielis auf den Seiten 39 - 73 [1].
Mit der Superformel lassen sich auch 3D-Objekte erzeugen (s. 3D Supershape).
In [2] versuchen die Verfasser durch verschiedene Funktionen modifizierte Gielis-Kurven an simulierte Daten anzupassen. Allerdings ist es bei einer gegebenen Figur nicht einfach, die die Figur erzeugenden Parameter zu bestimmen. Dies wurde mit zwei Methoden der globalen Optimierung (Simulated Annealing und Particle Swarm) versucht. Es ergab sich, dass diese Parameter nicht zuverlässig geschätzt werden konnten und keine eindeutige Lösungen zustande kamen.
Quellenverweise
[1] Method and Apparatus for Synthesizing Patterns (Patentschrift, PDF, 3.1 MB)
[2] Mishra, Sudhanshu K. (2006) Some Experiments on Fitting of Gielis Curves by Simulated Annealing
and Particle Swarm Methods of Global Optimization, Dept. of Economics, NEHU, Shillong (India),
(July 3, 2006), http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.913667
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