3D Herz

Im Unterricht hatten wir schon einige Objekte als Rotationskörper konstruierrt, als die Schülerinnen mich fragten, ob man denn auch ein 3D-Herz erzeugen könne. Schnell konnten wir klären, dass zum einen das gewünschte 3D-Herz kein Rotationskörper ist und zum anderen die bis dato behandelten Funktionstypen nicht ausreichen, um die "Kerbe" im Herz zu erzeugen.

 

Zumindest konnte ich nach kurzer Internet-Recherche eine geeignete Formel in impliziter Form (s. auch Implizite Flächen) finden und das Herz mit GC3D darstellen (s.o.):

 

(x² + 2.25 y² + z² - 1) ³ - x² z³ - 0.1125 y² z³ = 0          [1]

 

Etwas unbefriedigend ist die wellige Oberfläche; wenn eine hohe Auflösung gewählt wird, verbessert sich die Darstellung, jedoch führt dies zu sehr langen Rechenzeiten und man stößt irgendwann an die maximale Speichergröße von Graphing Calculator 3D.

 

Welche Alternativen gibt es?

 

Eine erste Idee ist es, eine zweidimensionale Herzkurve mit einem Halbkreis als Sphärisches Produkt darzustellen und die "Dicke" mit einem Faktor anzupassen (für eine Erklärung hierzu und ein Beispiel mit einer Kardiode siehe unter
Spezielle 3D Flächen/Supershape).

 

Das Herz rechts basiert auf der Funktion

 

h1 (ω) = | ω | cos (ω)

h2 (ω) = | ω |  sin (ω)     mit  - π ≤ ω ≤  π

3D Herz als Sphärisches Produkt

 

Die weiteren 3D Herzen wurden alle als Supershape erzeugt, wobei sowohl die horizontale als auch die vertikal modulierende Funktion mit Hilfe einer Superformel SF ( a, b, m1, m2, n1, n2, n3 ) umgesetzt sind.
Zum eigenen Experimentieren kann auch die in Spezielle 3D Flächen/Supershape angegebene Graphing Calculator 3D-Datei Supershape.gc3 verwendet werden.

 

SF (1, 4, -2.6, -2.6, 2.5, 2, 1.5)
SFm ( 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2)

3D Herz als Supershape - 1

SFh  (1, 4, -2.6, -2.6, 2.5, 2, 1.5)

SFm ( 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1 )

3D Herz als Supershape - 2

SFh  (1, 4, -2.6, -2.6, 2.5, 2, 1.5)

SFm ( 1, 20, 1, 1, 1, 0.4, 0.4 )

3D Herz als Supershape - 3

SFh  (1, 2, -2.6, -2.6, 1, 2, 1.1)
SFm (1, 1, 1, 1, 2, 2, 2)

3D Herz als Supershape - 4

SFh  (1, 4, -2.6, -2.6, 2.5, 2, 1.5)
SFm ( 0.5, 0.5, 1, 1, 2, 2, 2 )

3D Herz als Supershape - 5

SFh  (1, 2, -2.6, -2.6, 1, 2, 1.1)
SFm ( 0.5, 0.5, 1, 1, 2, 2, 2 )

3D Herz als Supershape - 6

Die beiden letzten Herzen (gelb und blau) wurden als Supershape auf einem Torus generiert, wie es in
Spezielle 3D Flächen/Supershape erläutert wird.

 

Beim folgenden "Lollipop-Herz" wurde dieses in gelb und rot nacheinander geplottet, wobei die roten Streifen dadurch entstehen, dass auf die z-Komponente des roten Herzen der Term 0.02 sin (20u) addiert wurde.

3D Lollipop Herz

Abschließend noch ein "wellenförmiges Herz", das sich als Plot einer Funktion mit zwei Variablen ergibt gemäß:

 

3D Herz als Parameterfläche