3D Herz
Im Unterricht hatten wir schon einige Objekte als Rotationskörper konstruierrt, als die Schülerinnen mich fragten, ob man denn auch ein 3D-Herz erzeugen könne. Schnell konnten wir klären, dass zum einen das gewünschte 3D-Herz kein Rotationskörper ist und zum anderen die bis dato behandelten Funktionstypen nicht ausreichen, um die "Kerbe" im Herz zu erzeugen.
Zumindest konnte ich nach kurzer Internet-Recherche eine geeignete Formel in impliziter Form (s. auch Implizite Flächen) finden und das Herz mit GC3D darstellen (s.o.):
(x² + 2.25 y² + z² - 1) ³ - x² z³ - 0.1125 y² z³ = 0 [1]
Etwas unbefriedigend ist die wellige Oberfläche; wenn eine hohe Auflösung gewählt wird, verbessert sich die Darstellung, jedoch führt dies zu sehr langen Rechenzeiten und man stößt irgendwann an die maximale Speichergröße von Graphing Calculator 3D.
Welche Alternativen gibt es?
Eine erste Idee ist es, eine zweidimensionale Kardioide ("Herzkurve") mit einem Halbkreis als Sphärisches Produkt darzustellen und die "Dicke" mit einem Faktor anzupassen (für eine
Erklärung hierzu und ein Beispiel mit einer Kardioide siehe unter
Spezielle 3D Flächen/Supershape).
Das Herz rechts basiert auf der Funktion
h1 (ω) = | ω | cos (ω)
h2 (ω) = | ω | sin (ω) mit - π ≤ ω ≤ π
Die weiteren 3D Herzen wurden alle als Supershape erzeugt, wobei sowohl die horizontale als auch die vertikal modulierende Funktion mit Hilfe einer
Superformel SF ( a, b, m1, m2, n1, n2, n3 ) umgesetzt sind.
Zum eigenen Experimentieren kann auch die in Spezielle 3D Flächen/Supershape
angegebene Graphing Calculator 3D-Datei Supershape.gc3 verwendet werden.
SFh (1, 4, -2.6, -2.6, 2.5, 2,
1.5)
SFm
( 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2)
SFh (1, 4, -2.6, -2.6, 2.5, 2, 1.5)
SFm ( 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1 )
SFh (1, 4, -2.6, -2.6, 2.5, 2, 1.5)
SFm ( 1, 20, 1, 1, 1, 0.4, 0.4 )
SFh (1, 2, -2.6, -2.6, 1, 2,
1.1)
SFm (1, 1, 1, 1, 2, 2, 2)
SFh (1, 4, -2.6, -2.6, 2.5, 2,
1.5)
SFm
( 0.5, 0.5, 1, 1, 2, 2, 2 )
SFh (1, 2, -2.6, -2.6, 1, 2,
1.1)
SFm
( 0.5, 0.5, 1, 1, 2, 2, 2 )
Die beiden letzten Herzen (gelb und blau) wurden als Supershape auf einem Torus generiert, wie es in
Spezielle 3D Flächen/Supershape erläutert wird.
Beim folgenden "Lollipop-Herz" wurde dieses in gelb und rot nacheinander geplottet, wobei die roten Streifen dadurch entstehen, dass auf die z-Komponente des roten Herzen der Term 0.02 sin (20u) addiert wurde.
Eine weitere Möglichkeit ein 3D Herz zu erzeugen besteht darin, eine "Herzkurve" in parametrischer Form als Rohr/Röhre darzustellen (s. dazu Funktionsgraph als Rohr/Röhre). Die folgende Galerie zeigt die entstehenden Herzen für die Funktionen
- blaues Herz [2], u = 0 ... 60
- rotes Herz [3}], u = 0 ... 2π
Bei den letzten beiden roten Herzen wurde für die Ummantelung der Herzkurve ein elliptischer Querschnitt verwendet.
Abschließend noch ein "wellenförmiges Herz", das sich als Plot einer Funktion mit zwei Variablen ergibt gemäß:
