3D Spiralen

Spiralen sind interessante Kurven; sie kommen in der Natur, der Technik, der Kunst und Architektur vor.

 

Auf dieser Seite liegt der Focus auf räumlichen Spiralen.

Für jeden Spiraltyp werden neben einigen Beispielen aus Natur und Technik dargestellt:

  • Planare Spirale (Ausnahme Helix)
  • 3D Spirale als Animation und Projektion der fertigen Spirale in die x/y-Ebene
  • korrespondierender Rotationskörper mit Randfunktion.

Für den Rotationskörper gilt


 bzw.


wobei f (z) die den Rotationskörper erzeugende Randfunktion (blaue Linie in dne folgenden Diagrammen) mit ihrem Definitionsbereich Df  ist.

Helix (Schraubenlinie)

Die Helix  ist eine Kurve, die sich mit konstanter Steigung um den Mantel eines Zylinders windet. Als Basis für die 3D-Herleitung dient hier nicht wie bei den folgenden 3D Spiralen eine planare Spirale, sondern ein Kreis, dessen Peripherie beliebig oft durchlaufen wird (grüner Punkt in der mittleren Grafik).

Spiralfedern
Spiralfedern
Ranke einer Pflanze
Ranke einer Pflanze

Kreis

3D Helix und Archimedische Spirale

Helix

3D Helix auf Zylinder als erzeugter Rotationskörper

Zylinder

 


Das Vorzeichen von c bestimmt die Drehrichtung (Gängigkeit) der Helix; dies gilt auch für die im folgenden betrachteten 3D Spiralen.

linksgängige Schraubenlinie (Helix)
rechtsgängige Schraubenlinie (Helix)

Die bisher betrachteten Helices befinden sich auf der Oberfläche von Zylindern. Am Ende der Seite finden Sie auch Helices auf beliebigen Rotationskörpern.

 

Konische Spirale

Die Basis für die konische Spirale ist die Archimedische Spirale. Bei dieser wächst der Radius ρ proportional mit dem Polarwinkel θ an; hierbei ist a der Proportionalitätsfaktor. Aufgrund dieser Proportionalität ist der Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Windungen der Archimedischen Spirale konstant.


Archimedische Spirale

Archimedische Spirale

3D Konische Spirale und Fermat-Spirale

Konische Spirale

3D Konische Spirale auf Kegel als erzeugter Rotationskörper

Kegel


Paraboloide Spirale

Die Paraboloide Spirale entsteht aus der Fermat-Spirale. Bei dieser nimmt der Windungsabstand mit wachsender Entfernung zum Pol ab. Charakteristisch ist auch die stark gekrümmte erste Windung.

Fermat-Spirale

Fermat-Spirale


3D Paraboloide Spirale und Fermat-Spirale

Paraboloide Spirale

3D Paraboloide Spirale auf Rotationsparaboloid als erzeugter Rotationskörper

Rotationsparaboloid


Hyperbolische Spirale

Bei der hyperbolischen Spirale hängen ρ und θ umgekehrt proportional zusammen. Dieser Zusammenhang -  ähnlich wie die Hyperbelfunktion in kartesischen Koordinaten - gibt der Spirale ihren Namen. Sie umrundet  ihren Pol in unzähligen, immer enger werdenden Windungen, erreicht ihn jedoch nie.

Hyperbolische Spirale

Hyperbolische Spirale

3D Hyperbolische Spirale

3D Hyperbolische Spirale

3D Hyperbolische Spirale und erzeugter Rotationskörper

Rotationshyperboloid


3D Lituus-Spirale

Lituus-Spirale mit Ast für große x-Werte

Die Lituus-Spirale verdankt ihren Namen der Ähnlichkeit mit einem Bischofsstab (s. Grafik rechts). Bei der Lituus-Spirale ist der Winkel θ umgekehrt proportional zum Quadrat des Radius ρ. Auch sie umrundet ihren Pol, ohne ihn jemals zu erreichen, während ihr äußerer Ast sich asymptotisch der x-Achse nähert.

Lituus-Spirale

Lituus-Spirale

3D Lituus-Spirale

3D Lituus-Spirale

3D Lituus-Spirale und erzeugter Rotationskörper

Rotationskörper zur 3D Lituus-Spiral


3D Logarithmische Spirale

Die logarithmische Spirale unterscheidet sich deutlich von den bisher aufgeführten Spiralen. Ihr Radius ρ wächst exponentiell mit dem Polarwinkel θ bzw. der Polarwinkel hängt logarithmisch vom Radius ab. Auch ihr Pol ist ein asymptotischer Punkt. Mit der 3D Logarithmischen Spirale können z.B. Meeresschnecken modelliert werden.

Weinbergschnecke
Weinbergschnecke
Spiral Galaxy NGC 1232
Spiral Galaxy NGC 1232 (apod.nasa.gov)

Logarithmische Spirale

Logarithmische Spirale

3D Logarithmische Spirale

3D Logarithmische Spirale

3D Logarithmische Spirale und erzeugter Rotationskörper

Rotationskörper zur 3D Logarithmischen Spirale



Kugelspirale

Eine weitere 3D Spirale ist die Kugelspirale. Diese windet entlang der Oberfläche einer Kugel, die sich z.B. aus der  impliziten Gleichung  x² + y² + z² = r² ergibt, wobei r der Radius der Kugel ist. Für die Kugelspirale gilt mit u ϵ [-r, r] :

       

Die Projektion einr Kugelspirale in die x/y-Ebene erzeugt eine  Clelia-Kurve [1]. In den folgenden Galerien sind für einige Werte von c die entstehende Kugelspirale und die korrespondierende Cliela-Kurve dargestellt.

Kugeltanks mit spiralförmiger Treppe
Kugeltanks mit spiralförmigem Treppenaufgang (www.chemiepark-marl.de)

Die folgende Animation zeigt die entstehenden Clelia-Kurven, wenn c die Werte von 1 bis 0.05 durchläuft.

 

Abschließend sei noch angemerkt, dass man die Kugelspirale nicht mit der Loxodrome verwechseln darf. Diese letztere Spirale zeichnet sich dadurch aus, dass sie die Meridiane der Kugel stets im gleichen Winkel schneidet (s. auch Loxodrome). Zum Vergleich sind in den folgenden beiden Grafiken beide Spiralen dargestellt.


Helix auf beliebigen Rotationskörpern

Ersetzt man den konstanten Radius r in der Parameterdarstellung der Helix durch die Randfunktion f  eines Rotationskörpers, so erhält man einen spiralförmigen Verlauf auf der Oberfläche des Rotationskörpers:

Im folgenden soll noch eine "Anwendung" einer Helix auf einem beliebigen Rotationskörper betrachtet werden.

 

Auf eine Vase - Rotationskörper um die x-Achse mit der Randfunktion f (x) =  -0.1 (2x³ -11x² +12x -9) mit x ϵ [0, 4] - soll eine farbige Helix längs der x-Achse aufgetragen werden. Während sich die Vase um die x-Achse dreht (um dies besser erkennen zu können, habe ich zwei dunkle"Längsnähte" auf der Vase angebracht), fährt oberhalb parallel zur x-Achse eine Farbspritzdüse (grün) entlang. Hierzu müssen die Translation der Düse und die Rotation der Vase so synchronisiert werden, dass sich das Ende der Helix stets oben und unterhalb der Düse befindet:

Das rechte Bild in der obigen Galerie zeigt eine "Ziervase" mit versetzt angeordneten farbigen Spirallinien.

 

Das gleiche Prinzip nutzend und mit der Randfunktion f (x) = 0.2 sin ² (6x) + 0.5 mit x ϵ [0, 1.5] entsteht ein "Baumkuchen",  auf den eine Helix aus "Zuckerguss" aufgetragen wird:


Quellenverweise

 

[1]   https://de.wikipedia.org/wiki/Clelia-Kurve