Basins of Attraction für exp (z) - 1 = 0

Die komplexe Exponentialfunktion exp (z) - 1 (zur Programmierung mit OpenGl SL siehe Komplexe Arithmetik mit OpenGL SL unter Grundlagen und Algorithmen) ist periodisch mit der Periode 2iπ, denn es gilt:

ez+2kπ i = ex+i (y+2kπ)       mit z = x + i y ϵ ℂ,  k

             = ex [ cos (y + 2kπ) + i sin (y + 2kπ) ]

             = ex [ cos (y) + i sin (y) ]

             = ez

 

Sie besitzt die reelle Nullstelle z = 0 sowie unendlich viele komplexe Nullstellen k • 2 π i  mit k .

Bei der Berechnung / Darstellung der Basins of Attraction habe ich mich auf folgende neun Nullstellen beschränkt:

-8 π i     -6 π i     -4 π i     -2π i      0     2 π i      4 π i      6 π i    8 π i

 

Zur Programmierung der komplexen Exponentialfunktion mit OpenGl SL siehe unter Grundlagen und Algorithmen.

 

Für den Ausgangsbereich B ⊆ ℂ (linkes Bild beim jeweiligen Verfahren) gilt B = [-15 ,13 ] x [-28 , 28]. Von diesem ausgehend wurde dann in einen kleinen Teilbereich von B hinein gezoomt.  Weitere Informationen zum jeweiligen Bild erhalten Sie durch Anklicken des Bildes (s. auch folgender Navigationstipp). Um Ladezeiten kurz zu halten, habe ich die Größe der Fraktale auf 1024 x 1024 Pixel beschränkt.

 

Da die Ergebnisse vieler Verfahren sehr ähnlich dem des Newton-Verfahren sind, habe ich hier insbesondere die Verfahren aufgeführt, die sich mehr oder weniger von diesem unterscheiden. Mit Hilfe der Datei im Download-Bereich unten auf der Seite und der Software VOC kann der interessierte Leser gerne weitere Verfahren anwenden.

Eine größere, detailreichere Ansicht lohnt sich. Klicken Sie dazu auf ein Bild in der Galerie (evtl. für eine weitere Vergrößerung auf die dann erscheinende Bildschirmlupe ). Innerhalb der Galerie  bewegen Sie sich mit den Pfeiltasten   am linken / rechten Bildschirmrand.

 

Newton-Verfahren

 

Halley-Verfahren


 

Householder-Verfahren

 

Basto-Verfahren


 

Whittaker II -Verfahren

 

Euler-Chebyshev-Verfahren


 

Sekanten-Verfahren

 

King-Verfahren mit verschiedenen Werten für β

 

Contra-Harmonic Newton-Verfahren


 

Rafiq-Rafiullah-Verfahren

 

Chun-Lee-Neta-Verfahren



Konvergenzgeschwindigkeit

Für einen Bereich B = [-5, 5] × [-5, 5] ⊆ ℂ  (so nicht anders angegeben) zeigen die Bilder in folgender Galerie die Konvergenzgeschwindigkeit einiger Verfahren an Hand einer Regenbogen-Farbpalette mit 256 Farbwerten. Um die gesamte Farbpalette abzubilden, wurde p_step auf den Wert 10 gesetzt (s. unter Algorithmen). Eine hohe Konvergenzgeschwindigkeit entspricht so Rot- bis Gelbtönen, eine niedrige entspricht Blautönen.

Klicken Sie auf ein Bild in der Galerie, um dieses zu vergrößern und den Verfahrensnamen sowie verfahrensspezifische Parameter anzuzeigen. Innerhalb der Galerie  bewegen Sie sich mit den Pfeiltasten   am linken / rechten Bildschirmrand.


Download

Die folgende ZIP-Datei enthält eine CFF-Datei, die mit dem Programm Vision of Chaos für 21 numerische Verfahren die Berechnung der Basins of Attraction sowie der Konvergenzgeschwindigkeit (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen) ermöglicht. Außerdem enthält sie die Paletten-Datei BFrain.MAP, die bei allen Berechnungen der Konvergenzgeschwindigkeit zugrunde lag.