Basins of Attraction für sin (z^2 - 1) = 0

Nullstellen von sin(z^2-1)

Die komplexe Funktion f (x) = sin (z² - 1)

(zur Programmierung der komplexen Funktion sin (z) mit OpenGl SL siehe Komplexe Arithmetik mit OpenGL SL unter Grundlagen und Algorithmen)  besitzt unendlich viele Nullstellen der Form

 Nullstellen von sin(z^2-1)

Bei der Berechnung der Basins of Attraction habe ich mich auf 12 Nullstellen (s. Grafik rechts) beschränkt. Die berechneten Basins of Attraction haben für alle Iterationsverfahren außer dem Sekantenverfahren die Form einer Astroide mit beschnittenen Spitzen. Dazu hier ein paar Beispiele für B = [-4, 4] x [-4, 4] mit dem Newton-, Chun-Kim II und Sharma-Bahl-Verfahren:

Hingegen findet man in einem Bereich B [-1.., 1..] x [-1.., 1..] interessante filigrane fraktale Strukturen, wie in der folgenden Galerie dargestellt. Informationen zum Ausgangsbereich B ⊆ ℂ und verwendeten Iterationsverfahren erhalten Sie durch Anklicken des Bildes (s. auch folgender Navigationstipp). Um Ladezeiten kurz zu halten, habe ich die Größe der Fraktale auf 1024 x 1024 Pixel beschränkt.

 

Für den interessierten Leser steht unten auf der Seite im Download-Bereich eine Datei zur Anwendung mit der Software VOC zum eigenen Experimentieren zur Verfügung.

Klicken Sie bei den folgenden Galerien auf ein Bild für eine größere, detailreichere Ansicht sowie Informationen zum verwendeten Verfahren. Klicken Sie auf die  Bildschirmlupe für eine weitere Vergrößerung;  mit den Pfeiltasten   am linken / rechten Bildschirmrand bewegen Sie sich innerhalb der Galerie.


Weitere Berechnungen / Experimente

Falls Sie die obigen Resultate nachvollziehen oder weitere Berechnungen / Experimente mit unterschiedlichsten Parametereinstellungen vornehmen möchten, steht hierfür die nachfolgende ZIP-Datei als Download zur Verfügung. Sie enthält einen Shader (CFF-Datei), der mit dem Programm Vision of Chaos für die Funktion auf dieser Seite für ca. 50 Iterationsverfahren die Berechnung der Basins of Attraction sowie der Konvergenzgeschwindigkeit (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen) ermöglicht.

 

Die Datei BFrain.zip, enthält die Palette (MAP-Datei), die auf meinen Webseiten bei der Berechnung und Einfärbung der Konvergenzgeschwindigkeit zugrunde lag (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen).

 

Rootfind sin(z^2-1)=0          BFrain.zip