Basins of Attraction für sin (z^2 - 1) = 0

Nullstellen von sin(z^2-1)

Die komplexe Funktion sin (z² - 1) (zur Programmierung der komplexen Funktion sin (z) mit OpenGl SL siehe Komplexe Arithmetik mit OpenGL SL unter Grundlagen und Algorithmen)  besitzt unendlich viele Nullstellen der Form

 Nullstellen von sin(z^2-1)

Bei der Berechnung der Basins of Attraction habe ich mich auf 12 Nullstellen (s. Grafik rechts) beschränkt.

 

Die berechneten Basins of Attraction haben für alle Iterationsverfahren außer dem Sekantenverfahren die Form einer Astroide mit beschnittenen Spitzen. Dazu hier ein paar Beispiele für B = [-4, 4] x [-4, 4] mit dem Newton-, Chun-Kim II und Sharma-Bahl-Verfahren:

Hingegen findet man in einem Bereich B [-1.., 1..] x [-1.., 1..] interessante filigrane fraktale Strukturen, wie in der folgenden Galerie dargestellt. Informationen zum Ausgangsbereich B ⊆ ℂ und verwendeten Iterationsverfahren erhalten Sie durch Anklicken des Bildes (s. auch folgender Navigationstipp). Um Ladezeiten kurz zu halten, habe ich die Größe der Fraktale auf 1024 x 1024 Pixel beschränkt.

 

Für den interessierten Leser steht unten auf der Seite im Download-Bereich eine Datei zur Anwendung mit der Software VOC zum eigenen Experimentieren zur Verfügung.

Eine größere, detailreichere Ansicht lohnt sich. Klicken Sie dazu auf ein Bild in der Galerie (evtl. für eine weitere Vergrößerung auf die dann erscheinende Bildschirmlupe ). Innerhalb der Galerie  bewegen Sie sich mit den Pfeiltasten   am linken / rechten Bildschirmrand.


Download

Die folgende ZIP-Datei enthält eine CFF-Datei, die mit dem Programm Vision of Chaos für 21 numerische Verfahren die Berechnung der Basins of Attraction sowie der Konvergenzgeschwindigkeit (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen) ermöglicht. Außerdem enthält sie die Paletten-Datei BFrain.MAP, die bei allen Berechnungen der Konvergenzgeschwindigkeit zugrunde lag.