Riemann-Summen

Längen-, Flächen- und Volumenberechnungen (bzw. allgemein Inhaltsberechnungen) waren/sind eine der Haupttriebkräfte  bei der Entwicklung der modernen Analysis.

 

Auf dieser Seite geht es um die Inhaltsbestimmung einer Fläche A zwischen dem Funktionsgraph einer reellwertigen Funktion f mit der reellen Veränderlichen x und der x–Achse. Dazu gibt es in der modernen Analysis unterschiedliche Wege.

Im folgenden werden die sogenannten Riemann–Summen betrachtet, die in einem Grenzwertprozess zum Riemann-Integral führen.

 

Das vom deutschen Mathematiker Bernhard Riemann (1826 - 1866) entwickelte zugrunde liegende Konzept besteht darin, den gesuchten Flächeninhalt im Intervall [a, b] mit Hilfe leicht zu berechnender Flächeninhalte von Rechtecken anzunähern.

Im folgenden sind

  • f : [a, b] eine beschränkte Funktion,
  • [a, b] ein Intervall,
  • Z = { [x0, x1], [x1, x2], …, [xn-1, xn] }  mit  a=x0 < x1  < … < xn=b eine Zerlegung des Intervalls [a, b],
  • [xi-1, xi] ein Teilintervall von [a, b],
  • Δxi = xi - xi-1  die Länge des Teilintervalls [xi-1, xi],
  • || Δxi || die Norm (Feinheit) der Zerlegung Z mit || Δxi || = max ( { Δxi | i =1, ..., n } ),
  • ξi [xi-1, xi]  mit  i = 1, …, n  zu Z gehörende Zwischenstellen.

Riemann untersuchte Summen der Form

(heute als Riemann-Summen bezeichnet). Für eine gewählte Zerlegung Z ist jeder Term in der Summe  das Produkt aus dem Funktionswert an der Zwischenstelle ξi und der Intervalllänge und repräsentiert folglich die (vorzeichenbehaftete) Fläche des Rechtecks mit der Höhe f (ξi) und der Breite Δxi = xi − xi-1.

Die folgende Grafik zeigt dazu ein Beispiel. Die Norm der Zerlegung ist dort || Δxi || = x5 - x4.

Riemann-Summe mit allgemeiner Zerlegung von [a, b]

Die Riemann-Summe S ist die (vorzeichenbehaftete) Gesamtfläche all dieser Rechtecke.

Animation Riemann-Summe mit feiner werdender, beliebiger Zerlegung

Falls nun für eine Funktion f über dem Intervall [a, b] und für beliebige und immer feiner werdende Zerlegungen (s. Beispiel in Grafik rechts) die Riemann-Summen sich einer festen Zahl A beliebig nähern, so nennt man die Funktion integrierbar.

 

Hierbei müssen die einzelnen Teilintervalle nicht notwendigerweise alle gleich groß sein; auch können die Stützstellen ξi innerhalb eines Teilintervalls [xi-1, xi] beliebig angeordnet sein.

Die Zahl A ist dann das Riemann-Integral:

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man für die Zerlegung Z eine konstante Länge Δx für die Teilintervalle wählen, da dies die praktische Berechnung deutlich erleichtert:

Weiterhin ergeben sich dabei in Abhängigkeit der Wahl der Zwischenstellen ξi spezielle Riemann-Summen, die im folgenden näher betrachtet werden.


Linke Riemann-Summe

Animation: Linke Riemann-Summen für f(x)=-x^2+2x mit n=2, ..., 10

Gilt für alle Teilintervalle [xi-1, xi] einer Zerlegung Z, dass ξi = xi-1 , so heißt die entsprechende Summe

Animation: Linke Riemann-Summen für f(x)=-x^2+2x mit n=2, ..., 10

linke Riemann-Summe SL.

 

Die nebenstehende Animation zeigt für die Funktion f (x) = -x² + 2 x  und das Intervall  [0, 2] die entstehenden linken Riemann-Summen SL für Werte von n = 2, ..., 10. Die weißen Punkte auf dem Funktionsgraph markieren die Funktionswerte der Zwischenstellen ξi .

Hierbei gilt:

 

Für n → ∞ ergibt sich dann als Grenzwert für die linke Riemann-Summe:

Für diese Funktion und das Intervall [0, 2] wurden für einige Werte von n die linken Riemann-Summen sowie der absolute Fehler | - SL berechnet:

Linke Riemannsumme - Über- und Unterschreitung der echten Fläche

Grundsätzlich gilt für T [a, b] und die für das Teilintervall T gebildete Linke Riemann-Summe SL (T) in Bezug auf die echte Fläche:  

  1. SL (T) ist zu klein, falls in T gilt:
    f (x) ≤ 0 und f monoton fallend
                      oder 
    f (x) 0 und f monoton steigend,

  2. SL (T) ist zu groß, falls in T gilt:
    f (x) ≤ 0 und f monoton steigend
                      oder
    f (x) 0 und f monoton fallend.

An Hand der nebenstehenden Grafik mit der Beispielfunktion f (x) = x² - 4 (für x<0 ist f monoton fallend, für x>0 monoton steigend) lassen sich die beiden obigen Aussagen nachvollziehen.

Im folgenden soll der absolute Fehler für die linke Riemann-Summe allgemein abgeschätzt werden ...

 

Für n = 1 gilt:

Mit der Taylor-Entwicklung für f (x) an x0 = a mit Ordnung 1

ergibt sich:

Sei M1 = max ( | f '(x) | ) in [a, b], d.h. für alle x [a, b] ist | f '(x) | ≤ M2

Mit

folgt:

Für n>1 gilt somit:

wobei M1 das Maximum von | f '(x) | in [a, b] ist.  


Rechte Riemann-Summe

Animation: Rechte Riemann-Summen für f(x)=-x^2+2x mit n=2, ..., 10

Gilt für alle Teilintervalle [xi-1, xi] einer Zerlegung Z, dass ξi = xi , so heißt die entsprechende Summe

Animation: Rechte Riemann-Summen für f(x)=-x^2+2x mit n=2, ..., 10

rechte Riemann-Summe SR.

 

Die nebenstehende Animation zeigt für die Funktion f (x) = -x² + 2 x  und das Intervall  [0, 2] die entstehenden rechten Riemann-Summen SR für Werte von n = 2, ..., 10. Die weißen Punkte auf dem Funktionsgraph markieren die Funktionswerte der Zwischenstellen ξi.

Hierbei gilt:

Als Grenzwert für die rechte Riemann-Summe ergibt sich mit n → ∞ (vgl. oben):

Rechte Riemannsumme - Über- und Unterschreitung der echten Fläche

Grundsätzlich gilt für T [a, b] und die für das Teilintervall T gebildete Linke Riemann-Summe SR (T) in Bezug auf die echte Fläche:  

  1. SR (T) ist zu klein, falls in T gilt:
    f (x) ≤ 0 und f monoton steigend
                      oder 
    f (x) 0 und f monoton fallend,

  2. SR (T) ist zu groß, falls in T gilt:
    f (x) ≤ 0 und f monoton fallend
                      oder
    f (x) 0 und f monoton steigend.

An Hand der nebenstehenden Grafik mit der Beispielfunktion f (x) = x² - 4 (für x<0 ist f monoton fallend, für x>0 monoton steigend) lassen sich die beiden obigen Aussagen nachvollziehen.

Analog zur linken Riemann-Summe ergibt sich für die Abschätzung des absoluten Fehlers der rechten Riemann-Summen:

Da die Funktion f im Intervall [0, 2] spiegelsymmetrisch zu x = 1 ist, ergibt sich für diverse Werte von n und den entstehenden Fehler die gleiche Tabelle wie bei den linken Riemann-Summen (s.o.).


Riemann'sche Mittelpunktsumme

Animation: Riemann-Mittelpunkt-Summen für f(x)=-x^2+2x mit n=1, ..., 10

Gilt für alle Teilintervalle [xi-1, xi] einer Zerlegung Z, dass ξi = (xi-1 + xi) / 2, so heißt die entsprechende Summe

Animation: Riemann-Mittelpunkt-Summen für f(x)=-x^2+2x mit n=1, ..., 10

Riemann'sche Mittelpunktsumme SM.

Die nebenstehende Animation zeigt für die Funktion f (x) = -x² + 2 x  und das Intervall  [0, 2] die entstehenden rechten Riemann-Summen SR für Werte von n = 1, ..., 10. Die weißen Punkte auf dem Funktionsgraph markieren die Funktionswerte der Zwischenstellen ξi.

Hierbei gilt:

Mit n → ∞ ergibt sich als Grenzwert für die Riemann'sche Mittelpunkt-Summe (vgl. mit oben):

Für diese Funktion und das Intervall [0, 2] wurden für einige Werte von n die Riemann-Mittelpunkt-Summen sowie der absolute Fehler | - SM berechnet:

Im Vergleich mit den linken und rechten Riemann-Summen (s.o.) schneidet das Mittelpunktsverfahren deutlich besser ab. Im folgenden soll der absolute Fehler für die Riemann-Mittelpunkt-Summe allgemein abgeschätzt werden ...

 

Für n=1 gilt:

Mit der Taylor-Entwicklung für f (x) an x0 = (a + b) / 2 mit Ordnung 2

ergibt sich:

Sei  M2 = max ( | f ''(x) | ) in [a, b], d.h. für alle x [a, b] ist | f ''(x) | ≤ M2

Mit

folgt:

Für n>1 gilt somit:

wobei M2 das Maximum von | f ''(x) | in [a, b] ist.


Riemann'sche Unter- / Obersumme

Während bei der linken und rechten Riemnannsumme für beliebige Zerlegungen die Zwischenstellen ξi frei gewählt werden können, hängen bei den beiden folgenden Typen von Riemann-Summen die Zwischenstellen von den Funktionswerten im jeweiligen Teilintervall ab - genauer: von Infimum bzw. Supremum der Funktionswerte im Teilintervall.

Riemann (Darboux) Unter- und Obersumme

Für eine beliebige Zerlegung Z von [a, b] nennt man die Summe

Riemann (Darboux) Unter- und Obersumme

Riemann-Untersumme bezüglich der Zerlegung Z; die Summe

Riemann (Darboux) Unter- und Obersumme

nennt man Riemann-Obersumme bezüglich der Zerlegung Z.

 

Die Funktion wird dabei durch eine Treppenfunktion ersetzt, die auf jedem Teilintervall konstant gleich dem Supremum beziehungsweise Infimum der Funktion auf diesem Intervall ist. Die Animation zeigt für die Funktion f (x) = -x² + 2 x  und das Intervall  [0, 2] für Werte von n = 2, ..., 20 die entstehenden Obersummen SO (grün) und Untersummen SU (oliv). Für einige Werte von n wurden die Riemann-Ober- und Untersummen sowie die absoluten Fehler | - SO | und | - SU |berechnet:

Unter- und Obersumme können für einen Funktionsabschnitt identisch mit der Linken oder Rechten Riemann-Summe sein, falls die Funktion in diesem Abschnitt entweder monoton fällt oder monoton steigt.

 

Grundsätzlich gelten hier für ein (Teil-)intervall T [a, b] die folgenden Aussagen:

  • SU   SL , falls f in T monoton steigt.
  • SU    SR  , falls f in T monoton fällt.
  • SO   SL , falls f in T monoton fällt.
  • SO    SR  , falls f in T monoton steigt.

An Hand der Funktion f (x) = - 0.125 x³ + 1.5 x in den beiden folgenden Grafiken lassen sich die obigen Aussagen nachvollziehen. Die Funktion verläuft durch alle vier Quadranten und besitzt bei x = -2 und x=2 Extremwerte (s. gelbe Linie), so dass sich jeweils links und rechts davon andere Steigungsverläufe (s. Pfeile) ergeben.

Identität von Untersumme, linker und rechter Riemann-Summe
Identität von Obersumme, linker und rechter Riemann-Summe

Für alle Zerlegungen Z von [a, b] mit n Teilintervallen und beliebigen Zwischenstellen ξi und den zugehörigen Summen S - und somit insbesondere für SL, SM und SR - gilt stets:

Weiterhin gilt grundsätzlich für alle Zerlegungen Zk von [a, b]:

und im Falle der Gleichheit von Infimum und Supremum:


Vergleichendes Beispiel

Zum Vergleich wurden für die Funktion f (x) = - 0.45 x4 + 1.2 x3 + 0.5  im Intervall [-1, 3] Animationen der oben definierten Riemann-Summen SL, SM, SR, SU und SO erstellt:

Linke Riemann-Summe f(x)=-0.45x^4+1.2x^3+0.5 mit [-1, 3]

Linke Riemann-Summe SL

Riemann-Mittelpunkt-Summe f(x)=-0.45x^4+1.2x^3+0.5 mit [-1, 3]

Riemann-Mittelpunktsumme SM


Rechte Riemann-Summe f(x)=-0.45x^4+1.2x^3+0.5 mit [-1, 3]

Rechte Riemann-Summe SR

Riemann-Unter-, Obersumme f(x)=-0.45x^4+1.2x^3+0.5 mit [-1, 3]

Untere und Obere Riemannsumme SU, SO


Im Intervall [-1, 3] ist für -1 ≤ x 2  f monoton steigend, für 2 ≤ x 3 ist f monoton fallend, und es gibt Bereiche, für die f (x) < 0 gilt, d.h. der Funktionsgraph liegt unterhalb der x-Achse und der entsprechende Flächenanteil ist somit negativ. Die exakte vorzeichenbehaftete Fläche A beträgt

Für n = 100, 1000, 10000 wurden die Werte der Riemann-Summen berechnet:

Das beste Konvergenzverhalten zeigt die Mittelpunkt-Summe. Allerdings gibt es zur numerischen Berechnung des Integrals weitaus leistungsfähigere Verfahren, wie z.B. die Summierte Simpson Regel  (s. Numerische Integration).

 

Um z.B. die Genauigkeit der Mittelpunkt-Summe mit n = 1000 (ca. vier Nachkommastellen) zu erhalten, benötigt man mit diesem Verfahren nur 46 Schritte, im Falle von n = 10000 und sechs Nachkommastellen nur 144 Schritte!