Ein-Schritt-Verfahren (one-step methods)

• Newton-Verfahren (komplex)
• Halley-Verfahren (komplex)
• Schröder-Verfahren (komplex)
• Householder-Verfahren (komplex)
• Basto-Verfahren (komplex)
• Whittaker I -Verfahren (komplex)
• Whittaker II -Verfahren (komplex)
• Euler-Chebyshev-Verfahren (komplex)
• Sekanten-Verfahren (komplex)

Das Newton-Verfahren für komplexe Funktionen f : D → ℂ  mit  D ⊆ ℂ beruht auf der Iterationsvorschrift

Für die Herleitung, weitere Details, Konvergenzordnung q, Effizienzindex CE siehe unter Newton-Verfahren für reelle Funktionen.

Die Iterationsvorschrift für das Halley-Verfahren für komplexe Funktionen f : D → ℂ  mit  D ⊆ ℂ lautet

Für die Herleitung, weitere Details, Konvergenzordnung q, Effizienzindex CE siehe unter Halley-Verfahren für reelle Funktionen.

Das Schröder-Verfahren für komplexe Funktionen f : D → ℂ  mit  D ⊆ ℂ beruht auf der Iterationsvorschrift

Für die Herleitung, weitere Details, Konvergenzordnung q, Effizienzindex CE siehe unter Schröder-Verfahren für reelle Funktionen.

Das hier betrachtete Householder-Verfahren [1], [2] für komplexe Funktionen f : D → ℂ  mit  D ⊆ ℂ beruht auf der Iterationsvorschrift

Es hat die Konvergenzordnung q = 3 und den Effizienzindex CE = 1.442.

Quellenverweise

[1]   https://mathworld.wolfram.com/HouseholdersMethod.html

[2]   https://de.wikipedia.org/wiki/Householder-Verfahren

Die Iterationsvorschrift für das Basto-Verfahren für komplexe Funktionen f : D → ℂ  mit  D ⊆ ℂ lautet [1]:

Das Verfahren besitzt die Konvergenzordnung q = 3 bei einem Effizienzindex CE = 1.442.

Quellenverweise

[1]     M. Basto et al., A new iterative method to compute nonlinear equations (2006),
         Applied Mathematics and Computation 173 (2006), (468–483)

Das von Whittaker entwickelte Verfahren mit konvexer Beschleunigung (engl. convex acceleration) beruht auf dem Newton-Verfahren und besitzt die Konvergenzordnung q = 2 und den Effizienzindex CE = 1.26.

Angewandt auf komplexe Funktionen f : D → ℂ  mit  D ⊆ ℂ lautet die Iterationsvorschrift:

Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.

Quellenverweise

[1]   J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt, Iterative solution of nonlinear equations in several variables (1970),
       Monographs Textbooks Comput. Sci. Appl. Math., Academic Press, New York, 1970, S.181 ff

Whittaker entwickelte sein Verfahren mit konvexer Beschleunigung  (s. Whittaker I - Verfahren) weiter zu einem Verfahren mit doppelt konvexer Beschleunigung (engl. double convex acceleration) [1]. Das neue Verfahren hat die höhere Konvergenzordnung q = 3 bei einem Effizienzindex CE = 1.442. Die neue Iterationsvorschrift, angewandt auf komplexe Funktionen f : D → ℂ  mit  D ⊆ ℂ, lautet:

Quellenverweise

[1]   M. Heydari, G.B. Loghmani (2014) Third-Order and Fourth-Order Iterative Methods Free from Second
       Derivative for Finding Multiple Roots of Nonlinear Equations, CJMS 3(1)(2014), (67-85)

[2]   B. Neta, C. Chun, (2013) On a family of Laguerre methods to find multiple roots of nonlinear equations,
       Applied Mathematics and Computation 219 (2013) 10987–11004

http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2013.05.002

Das Euler-Chebyshev-Verfahren beruht auf der Iterationsvorschrift

und ist insbesondere für mehrfache Nullstellen, d.h. Nullstellen der Vielfachheit m geeignet, lässt sich aber auch für einfache Nullstellen einsetzen. Es handelt sich um ein Verfahren der Konvergenzordnung q = 3 bei einem Effizienzindex von CE = 1.442.

Quellenverweise

[1]   M. A. Hernandez, An acceleration procedure of the Whittaker method by means of convexity (1990),
       Zb. Rad. Prirod.-Mat. Fak. Ser. Mat. 20 (1990), 27–38

Das Sekantenverfahren für komplexe Funktionen f : D → ℂ  mit  D ⊆ ℂ beruht auf der Iterationsvorschrift

Das Verfahren benötigt außer dem Startwert z₀ ϵ B noch einen zweiten Startwert z₁ ϵ B, der bei der Berechnung der Einzugsbereiche für verschiedene komplexe Funktionen (Basins of Attraction) in der Regel zu z₁ = (0, 0) gesetzt wurde.

Für weitere Details, Herleitung, Konvergenzordnung q und Effizienzindex CE siehe Sekantenverfahren für reelle Funktionen.