Ein-Schritt-Verfahren (one-step methods)

• Newton-Verfahren (komplex)
• Halley-Verfahren (komplex)
• Schröder-Verfahren (komplex)
• Householder-Verfahren (komplex)
• Basto-Verfahren (komplex)
• Whittaker I -Verfahren (komplex)
• Whittaker II -Verfahren (komplex)
• Euler-Chebyshev-Verfahren (komplex)
• Chun-Kim I -Verfahren (komplex)
• Sekanten-Verfahren (komplex)

Das Newton-Verfahren für komplexe Funktionen f : D → ℂ  mit  D ⊆ ℂ beruht auf der Iterationsvorschrift

Für die Herleitung, weitere Details, Konvergenzordnung q, Effizienzindex CE siehe unter Newton-Verfahren für reelle Funktionen.

Im Falle einer mehrfachen Nullstelle konvergiert das Newton-Verfahren nur noch linear. Besitzt die Funktion eine a-fache Nullstelle (a ∈ |N, a ≥ 2), so liefert das modifizierte Verfahren

aber wieder lokal quadratische Konvergenz. Sehr schön kann man das am folgendem Beispiel erkennen.

Die Funktion f (z) = (z² - 1) ² = 0 besitzt die beiden doppelten Nullstellen ζ_1,2 = -1,  ζ_3,4 = 1. Sowohl das Newton- als auch das modifizierte Newton-Verfahren (a = 2) liefern für B = [-4, 4] × [-4, 4] ⊆ ℂ die gleichen Basins of Attraction (s. erstes Bild in folgender Galerie). Stellt man jedoch die Konvergenzgeschwindigkeit für diesen Bereich B mit Hilfe einer Regenbogen-Farbpalette dar (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen), so zeigt sich an Hand der vorherrschenden Blautöne, dass das Verfahren mit a = 1 deutlich langsamer konvergiert (s. mittleres Bild in Galerie) als das Vefahren mit a = 2 und vorherrschenden Rot-/Gelb-Tönen (s. letztes Bild in Galerie).

Die Anwendung der Verfahren für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.

Die Iterationsvorschrift für das Halley-Verfahren für komplexe Funktionen f : D → ℂ  mit  D ⊆ ℂ lautet

Für die Herleitung, weitere Details, Konvergenzordnung q, Effizienzindex CE siehe unter Halley-Verfahren für reelle Funktionen.

Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.

Das Schröder-Verfahren für komplexe Funktionen f : D → ℂ  mit  D ⊆ ℂ beruht auf der Iterationsvorschrift

Für die Herleitung, weitere Details, Konvergenzordnung q, Effizienzindex CE siehe unter Schröder-Verfahren für reelle Funktionen.

Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.

Das hier betrachtete Householder-Verfahren [1], [2] für komplexe Funktionen f : D → ℂ  mit  D ⊆ ℂ beruht auf der Iterationsvorschrift

Es hat die Konvergenzordnung q = 3 und den Effizienzindex CE = 1.442.

Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.

Quellenverweise

[1]   https://mathworld.wolfram.com/HouseholdersMethod.html

[2]   https://de.wikipedia.org/wiki/Householder-Verfahren

Die Iterationsvorschrift für das Basto-Verfahren für komplexe Funktionen f : D → ℂ  mit  D ⊆ ℂ lautet [1]:

Das Verfahren besitzt die Konvergenzordnung q = 3 bei einem Effizienzindex CE = 1.442.

Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.

Quellenverweise

[1]     M. Basto et al., A new iterative method to compute nonlinear equations (2006),
         Applied Mathematics and Computation 173 (2006), (468–483)

Das von Whittaker entwickelte Verfahren mit konvexer Beschleunigung (engl. convex acceleration) beruht auf dem Newton-Verfahren und besitzt die Konvergenzordnung q = 2 und den Effizienzindex CE = 1.26.

Angewandt auf komplexe Funktionen f : D → ℂ  mit  D ⊆ ℂ lautet die Iterationsvorschrift:

Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.

Quellenverweise

[1]   J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt, Iterative solution of nonlinear equations in several variables (1970),
       Monographs Textbooks Comput. Sci. Appl. Math., Academic Press, New York, 1970, S.181 ff

Whittaker entwickelte sein Verfahren mit konvexer Beschleunigung  (s. Whittaker I - Verfahren) weiter zu einem Verfahren mit doppelt konvexer Beschleunigung (engl. double convex acceleration) [1]. Das neue Verfahren hat die höhere Konvergenzordnung q = 3 bei einem Effizienzindex CE = 1.442. Die neue Iterationsvorschrift, angewandt auf komplexe Funktionen f : D → ℂ  mit  D ⊆ ℂ, lautet:

Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.

Quellenverweise

[1]   M. Heydari, G.B. Loghmani (2014) Third-Order and Fourth-Order Iterative Methods Free from Second
       Derivative for Finding Multiple Roots of Nonlinear Equations, CJMS 3(1)(2014), (67-85)

[2]   B. Neta, C. Chun, (2013) On a family of Laguerre methods to find multiple roots of nonlinear equations,
       Applied Mathematics and Computation 219 (2013) 10987–11004

http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2013.05.002

Das Euler-Chebyshev-Verfahren beruht auf der Iterationsvorschrift

und ist insbesondere für mehrfache Nullstellen, d.h. Nullstellen der Vielfachheit m geeignet, lässt sich aber auch für einfache Nullstellen einsetzen. Es handelt sich um ein Verfahren der Konvergenzordnung q = 3 bei einem Effizienzindex von CE = 1.442.

Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.

Quellenverweise

[1]   M. A. Hernandez, An acceleration procedure of the Whittaker method by means of convexity (1990),
       Zb. Rad. Prirod.-Mat. Fak. Ser. Mat. 20 (1990), 27–38

Die Verfasser konstruieren in [1] ein neues Verfahren basierend auf einer geometrischen Herangehensweise, ähnlich wie der mit der Tangente beim Newton-Verfahren und einer Hyperbel beim Halley-Verfahren (s. die dortigen Animationen). Hierbei nehmen sie aber den Krümmungskreis zur Hilfe, der im Punkt (x_n | y_n) die gleiche Tangente wie die Funktion f  besitzt. SIe leiten die folgende  Iterationsvorschrift für komplexe Funktionen f : D → ℂ  mit  D ⊆ ℂ her:

Das Verfahren besitzt die Konvergenzordnung q = 3, der Effizienzindex beträgt CE = 1.442.

Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.

Quellenverweise

[1]   C. Chun · Y. I. Kim, Several New Third-Order Iterative Methods for Solving Nonlinear Equations (2010),
       Acta Appl. Math. (2010) 109: 1053–1063, DOI 10.1007/s10440-008-9359-3

Das Sekantenverfahren für komplexe Funktionen f : D → ℂ  mit  D ⊆ ℂ beruht auf der Iterationsvorschrift

Das Verfahren benötigt außer dem Startwert z₀ ϵ B noch einen zweiten Startwert z₁ ϵ B, der bei der Berechnung der Einzugsbereiche für verschiedene komplexe Funktionen (Basins of Attraction) in der Regel zu z₁ = (0, 0) gesetzt wurde.

Für weitere Details, Herleitung, Konvergenzordnung q und Effizienzindex CE siehe Sekantenverfahren für reelle Funktionen.