Ein-Schritt-Verfahren (one-step methods)
- Newton-Verfahren (komplex)
- Halley-Verfahren (komplex)
- Schröder-Verfahren (komplex)
- Householder-Verfahren (komplex)
- Basto-Verfahren (komplex)
- Whittaker I -Verfahren (komplex)
- Whittaker II -Verfahren (komplex)
- Euler-Chebyshev-Verfahren (komplex)
- Chun-Kim I -Verfahren (komplex)
- Sekanten-Verfahren (komplex)
Newton-Verfahren für komplexe Funktionen
Das Newton-Verfahren für komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ beruht auf der Iterationsvorschrift
Für die Herleitung, weitere Details, Konvergenzordnung q, Effizienzindex CE siehe unter Newton-Verfahren für reelle Funktionen.
Modifiziertes Newton-Verfahren
Im Falle einer mehrfachen Nullstelle konvergiert das Newton-Verfahren nur noch linear. Besitzt die Funktion eine a-fache Nullstelle (a ∈ |N, a ≥ 2), so liefert das modifizierte Verfahren
aber wieder lokal quadratische Konvergenz. Sehr schön kann man das am folgendem Beispiel erkennen.
Die Funktion f (z) = (z² - 1) ² = 0 besitzt die beiden doppelten Nullstellen ζ1,2 = -1, ζ3,4 = 1. Sowohl das Newton- als auch das modifizierte Newton-Verfahren (a = 2) liefern für B = [-4, 4] × [-4, 4] ⊆ ℂ die gleichen Basins of Attraction (s. erstes Bild in folgender Galerie). Stellt man jedoch die Konvergenzgeschwindigkeit für diesen Bereich B mit Hilfe einer Regenbogen-Farbpalette dar (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen), so zeigt sich an Hand der vorherrschenden Blautöne, dass das Verfahren mit a = 1 deutlich langsamer konvergiert (s. mittleres Bild in Galerie) als das Vefahren mit a = 2 und vorherrschenden Rot-/Gelb-Tönen (s. letztes Bild in Galerie).
Die Anwendung der Verfahren für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Halley-Verfahren für komplexe Funktionen
Die Iterationsvorschrift für das Halley-Verfahren für komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ lautet
Für die Herleitung, weitere Details, Konvergenzordnung q, Effizienzindex CE siehe unter Halley-Verfahren für reelle Funktionen.
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Schröder-Verfahren für komplexe Funktionen
Das Schröder-Verfahren für komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ beruht auf der Iterationsvorschrift
Für die Herleitung, weitere Details, Konvergenzordnung q, Effizienzindex CE siehe unter Schröder-Verfahren für reelle Funktionen.
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Householder-Verfahren für komplexe Funktionen
Das hier betrachtete Householder-Verfahren [1], [2] für komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ beruht auf der Iterationsvorschrift
Es hat die Konvergenzordnung q = 3 und den Effizienzindex CE = 1.442.
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Quellenverweise
Basto-Verfahren für komplexe Funktionen
Die Iterationsvorschrift für das Basto-Verfahren für komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ lautet [1]:
Das Verfahren besitzt die Konvergenzordnung q = 3 bei einem Effizienzindex CE = 1.442.
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Quellenverweise
[1] M. Basto et al., A new iterative method to compute nonlinear
equations (2006),
Applied Mathematics and
Computation 173 (2006), (468–483)
Whittaker- Verfahren (I) für komplexe Funktionen
Das von Whittaker entwickelte Verfahren mit konvexer Beschleunigung (engl. convex acceleration) beruht auf dem Newton-Verfahren und besitzt die Konvergenzordnung q = 2 und den Effizienzindex CE = 1.26.
Angewandt auf komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ lautet die Iterationsvorschrift:
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Quellenverweise
Whittaker-Verfahren (II) für komplexe Funktionen
Whittaker entwickelte sein Verfahren mit konvexer Beschleunigung (s. Whittaker I - Verfahren) weiter zu einem Verfahren mit doppelt konvexer Beschleunigung (engl. double convex acceleration) [1]. Das neue Verfahren hat die höhere Konvergenzordnung q = 3 bei einem Effizienzindex CE = 1.442. Die neue Iterationsvorschrift, angewandt auf komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ, lautet:
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Quellenverweise
[2] B. Neta, C. Chun, (2013) On a
family of Laguerre methods to find multiple roots of nonlinear equations,
Applied Mathematics and Computation 219 (2013) 10987–11004
Euler-Chebyshev-Verfahren für komplexe Funktionen
Das Euler-Chebyshev-Verfahren beruht auf der Iterationsvorschrift
und ist insbesondere für mehrfache Nullstellen, d.h. Nullstellen der Vielfachheit m geeignet, lässt sich aber auch für einfache Nullstellen einsetzen. Es handelt sich um ein Verfahren der Konvergenzordnung q = 3 bei einem Effizienzindex von CE = 1.442.
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Quellenverweise
[1] M. A. Hernandez, An acceleration procedure of the Whittaker method by means of convexity
(1990),
Zb. Rad. Prirod.-Mat. Fak. Ser. Mat. 20 (1990), 27–38
Chun-Kim I -Verfahren für komplexe Funktionen
Die Verfasser konstruieren in [1] ein neues Verfahren basierend auf einer geometrischen Herangehensweise, ähnlich wie der mit der Tangente beim Newton-Verfahren und einer Hyperbel beim Halley-Verfahren (s. die dortigen Animationen). Hierbei nehmen sie aber den Krümmungskreis zur Hilfe, der im Punkt (xn | yn) die gleiche Tangente wie die Funktion f besitzt. SIe leiten die folgende Iterationsvorschrift für komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ her:
Das Verfahren besitzt die Konvergenzordnung q = 3, der Effizienzindex beträgt CE = 1.442.
Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.
Quellenverweise
[1] C. Chun · Y. I. Kim, Several New Third-Order Iterative Methods for Solving Nonlinear Equations (2010),
Acta Appl. Math. (2010) 109: 1053–1063, DOI 10.1007/s10440-008-9359-3
Sekantenverfahren für komplexe Funktionen
Das Sekantenverfahren für komplexe Funktionen f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ beruht auf der Iterationsvorschrift
Das Verfahren benötigt außer dem Startwert z0 ϵ B noch einen zweiten Startwert z1 ϵ B, der bei der Berechnung der Einzugsbereiche für verschiedene komplexe Funktionen (Basins of Attraction) in der Regel zu z1 = (0, 0) gesetzt wurde.
Für weitere Details, Herleitung, Konvergenzordnung q und Effizienzindex CE siehe Sekantenverfahren für reelle Funktionen. Die Anwendung des Verfahrens für einige komplexe Funktionen finden Sie unter Basins of Attraction.