Basins of Attraction für z^6 - 10 z^3 + 8 = 0

Das Polynom 6. Grades mit reellen Koeffizienten besitzt zwei reelle und vier komplexe Nullstellen:

A ≈ ( -1.04476249059255 , -1.80958171554851)

B ≈ 0.957155342964920

C ≈ ( -0.47857767148246 , 0.82892084237563)

D ≈ ( -0.47857767148246 , -0.828920842375627)

E ≈ 2.08952498118511

F ≈ ( -1.04476249059255 , 1.80958171554851)

In der folgenden Galerie wurde, sofern nicht anders angegeben, B = [-2, 2] x [-2, 2] gewählt. Um Ladezeiten kurz zu halten, habe ich die Größe der Fraktale auf 1024 x 1024 Pixel beschränkt.

Klicken Sie bei den folgenden Galerien auf ein Bild für eine größere, detailreichere Ansicht sowie Informationen zum verwendeten Verfahren. Klicken Sie auf die Bildschirmlupe für eine weitere Vergrößerung; mit den Pfeiltasten ← → am linken / rechten Bildschirmrand bewegen Sie sich innerhalb der Galerie.

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Newton-Verfahren, B=[-2, 2]x[-2, 2]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Halley-Verfahren, B=[-2, 2]x[-2, 2]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Halley-Verfahren, Zoom

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Schröder-Verfahren, B=[-4.5, 4.5]x[-4.5, 4.5]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Householder-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Basto-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Basto-Verfahre, Zoom

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Whittaker I-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Whittaker II-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Laguerre-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Jain-Verfahren, B=[-5.5, 5.5]x[-5.5, 5.5]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Steffensen-Verfahren, beta=-0.000001, B=[22, 22]x[22, 22]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Ridders-Verfahren, neg. Wurzel, B=[-3, 3]x[-3, 3]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Ridders-Verfahren, neg. Wurzel, Zoom

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Ridders-Verfahren, pos. Wurzel, B=[-3, 3]x[-3, 3]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Ridders-Verfahren, pos. Wurzel, Zoom

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Saeed-Aziz II-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Saeed-Aziz IV-Verfahren, neg. Wurzel

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0 Hosseini-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0 Sekanten-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0 Thukral-Verfahren, B=[-1850, 150]x[-150, 150]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0 King-Verfahren, beta=-1

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0 Chun-Kim II-Verfahren, B=[-1, 1}x[-1, 1]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0 Fang-Ni-Chen-Verfahren, B=[-1, 1}x[-1, 1]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0 Feng-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0 Chun-Ham-Verfahren, B=[-1, 1}x[-1, 1]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0 Chun-Lee-Neta-Verfahren, B=[-1, 1}x[-1, 1]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0 Fang-Sun-He-Verfahren, B=[-1, 1}x[-1, 1]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0 Ghanbari II-Verfahren, B=[-1, 1}x[-1, 1]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0 Ardelean-Verfahren, neg. Wurzel, B=[-5, 5]x[-5, 5]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0 Ardelean-Verfahren, pos. Wurzel, B=[-5, 5]x[-5, 5]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0 Golbabai-Javidi-Verfahren, Alg. 1, B=[-7, 7]x[-7, 7]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0 Golbabai-Javidi-Verfahren, Alg. 2, B=[-7, 7]x[-7, 7]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0 Golbabai-Javidi-Verfahren, Alg. 2, Zoom

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Rafiq-Rafiullah-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0 Behl-Kanwar-Sharma-Verfahren, p=0.4, B=[-17, 17]x[-17, 17]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0 Behl-Kanwar-Sharma-Verfahren, p=1.5, B=[-4.5, 4.5]x[-4.5, 4.5]

Insbesondere habe ich noch den Bereich B
"mittig zwischen den beiden reellen Nullstellen" betrachtet, d.h. B ≈ [1.65, 1.75] x [-0.05, 0.05].

Im ersten Bild der folgenden Galerie mit einem Bereich von [-3, 3] x [-3,3] und dem Newton-Verfahren zeigt die schwarze "Lupe" auf den Bereich B, der allen weiteren Verfahren zugrunde lag.

Nullstellen von z^6-10z^3+8 und Bereich B

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Newton-Verfahren, B=[-3, 3]x[-3, 3]

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Newton-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Euler-Chebyshev-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Ostrowski-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, King-Verfahren, beta=-2.3

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, King-Verfahren, beta=3

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Chun II-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Chun III-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Contra-Harmonic-Newton-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Kung-Traub-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Fang-Ni-Chen-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Chun Kim II-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Sharma-Bahl-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Chun-Lee-Neta-Verfahren

Basins of Attraction z^6-10z^3+8=0, Householder

Weitere Berechnungen / Experimente

Falls Sie die obigen Resultate nachvollziehen oder weitere Berechnungen / Experimente mit unterschiedlichsten Parametereinstellungen vornehmen möchten, gehen Sie folgendermaßen vor:

Laden Sie das Program VOC (s. Vision of Chaos) herunter und installieren Sie es.
Laden Sie die folgenden beiden ZIP-Dateien mit dem Shader-A und der Palettendatei BFrain herunter und entpacken Sie diese.
Starten Sie das Programm VOC und laden Sie den Shader-A (s. dazu Hinweis bei Vision of Chaos).
Kopieren Sie die beiden Abschnitte "COEFFICIENTS of p(z)" und "ROOTS of p(z)" (s.u.) und ersetzen Sie diese im Shader.

Nun stehen Ihnen für die Funktion auf dieser Seite ca. 50 Iterationsverfahren für die Berechnung der
Basins of Attraction sowie der Konvergenzgeschwindigkeit (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen) zur Verfügung. Um diese Berechnungen auch für andere Funktionen durchzuführen, müssen Sie für die jeweilige Funktion nur ihre beiden Abschnitte "COEFFICIENTS of p(z)" und "ROOTS of p(z)" im Shader ersetzen.

Rootfind Polynomial Shader-A.zip BFrain.zip

// COEFFICIENTS of p(z)
dvec2 a10= dvec2 ( 0. , 0. );
dvec2 a9 = dvec2 ( 0. , 0. );
dvec2 a8 = dvec2 ( 0. , 0. );
dvec2 a7 = dvec2 ( 0. , 0. );
dvec2 a6 = dvec2 ( 1. , 0. );
dvec2 a5 = dvec2 ( 0. , 0. );
dvec2 a4 = dvec2 ( 0. , 0. );
dvec2 a3 = dvec2 (-10. , 0. );
dvec2 a2 = dvec2 ( 0. , 0. );
dvec2 a1 = dvec2 ( 0. , 0. );
dvec2 a0 = dvec2 ( 8. , 0. );
// ROOTS of p(z)
// must be set, if random_method=0 and color_scheme=0 or 3
dvec2 A = dvec2 ( -1.04476249059255 , -1.80958171554851 );
dvec2 B = dvec2 ( 0.957155342964920 , 0. );
dvec2 C = dvec2 ( -0.478577671482460 , 0.828920842375627 );
dvec2 D = dvec2 ( -0.478577671482460 , -0.828920842375627 );
dvec2 E = dvec2 ( 2.08952498118511 , 0. );
dvec2 F = dvec2 ( -1.04476249059255 , 1.80958171554851 );
dvec2 G = dvec2 ( 0.0 , 0.0 );
dvec2 H = dvec2 ( 0.0 , 0.0 );
dvec2 I = dvec2 ( 0.0 , 0.0 );
dvec2 J = dvec2 ( 0.0 , 0.0 );