Basins of Attraction für sin (z) = 0

Die komplexe Funktion sin (z) (zur Programmierung der komplexen Funktion sin (z) mit OpenGl SL siehe Komplexe Arithmetik mit OpenGL SL unter Grundlagen und Algorithmen) ist periodisch mit der Periode 2π und besitzt unendlich viele Nullstellen der Form  k π  mit k ∈ ℤ. Eine Darstellung von f (z) finden sie unter 3D Visualisierung komplexwertiger Funktionen.

 

Bei der Berechnung der Basins of Attraction habe ich mich auf folgende neun Nullstellen beschränkt:

• - 4 π      • - 3 π     • - 2 π     • - π     • 0     • π     • 2 π     • 3 π     • 4 π 

Die erzeugten Bilder zeigen für die meisten Verfahren senkrecht verlaufende Streifen, was auf Grund der Implementierung der komplexen Sinus-Funktion mit Exponentialfunktionen (s.o.) auch zu erwarten war.

Als Ausgangsbereich B ⊆ ℂ für die Iterationsverfahren wurde B = [-14 ,14] x [-14 , 14] (s.  Newton-Verfahren, erstes Bild in folgender Galerie) bzw. einer der Teilbereiche B1 = [-2 ,-1] x [-0.5 , 0.5] und
B2 = [1 ,2] x [-0.5 , 0.5] gewählt.  Weitere Informationen zum jeweiligen Bild und verwendeten Iterationsverfahren erhalten Sie durch Anklicken des Bildes (s. auch folgender Navigationstipp). Um Ladezeiten kurz zu halten, habe ich die Größe der Fraktale auf 1024 x 1024 Pixel beschränkt.

 

Für den interessierten Leser steht unten auf der Seite im Download-Bereich eine Datei zur Anwendung mit der Software VOC zum eigenen Experimentieren zur Verfügung.

Klicken Sie bei den folgenden Galerien auf ein Bild für eine größere, detailreichere Ansicht sowie Informationen zum verwendeten Verfahren. Klicken Sie auf die  Bildschirmlupe für eine weitere Vergrößerung;  mit den Pfeiltasten ←  → am linken / rechten Bildschirmrand bewegen Sie sich innerhalb der Galerie.

Basins of Attraction sin(z)=0 Basto-Verfahren,

Zoom-Animation (1.2 MB) entlang x-Achse [-14.6, 13]


Basins of Attraction sin(z)=0 Sekanten-Verfahren, B=[-15,-3]x[-6,6], Animation (6 MB) von z1 aus [0, 3]x{0}

  • Basins of Attraction sin(z)=0 Laguerre-Verfahren, B=[-15, 15]x[-15, 15], n=3
  • Basins of Attraction sin(z)=0 Laguerre-Verfahren, B=[-15, 15]x[-15, 15], n=9
  • Basins of Attraction sin(z)=0 Laguerre-Verfahren, B=[-15, 15]x[-15, 15], n=18
  • Basins of Attraction sin(z)=0 Laguerre-Verfahren, n=18, Zoom
  • Basins of Attraction sin(z)=0 Laguerre-Verfahren, B=[-15, 15]x[-15, 15], n=100
  • Basins of Attraction sin(z)=0 Laguerre-Verfahren, n=100, Zoom
  • Basins of Attraction sin(z)=0 Laguerre-Verfahren, n=200, Zoom

  • Basins of Attraction sin(z)=0 Golbabai-Javidi-Verfahren, Alg. 1, B=[-3, 3]x[-3, 3]
  • Basins of Attraction sin(z)=0 Golbabai-Javidi-Verfahren, Alg. 2, B=[-3, 3]x[-3, 3]
  • Basins of Attraction sin(z)=0 Kanwar-Sharma-Verfahren, B=[-25, 25]x[-25, 25], z1=(-1, 0), alpha=2
  • Basins of Attraction sin(z)=0 Kanwar-Sharma-Verfahren, B=[-25, 25]x[-25, 25], z1=(-1, 0), alpha=50
  • Basins of Attraction sin(z)=0 Kanwar-Sharma-Verfahren, B=[-25, 25]x[-25, 25], z1=(-1, 0), alpha=120

  • Basins of Attraction sin(z)=0 Tiruneh-Verfahren, z1=(0.1, 0), a
  • Basins of Attraction sin(z)=0 Tiruneh-Verfahren, z1=(0.1, 0), b
  • Basins of Attraction sin(z)=0 Tiruneh-Verfahren, z1=(0.8, 1), B=[-25, 25]x[-25, 25]
  • Basins of Attraction sin(z)=0 Tiruneh-Verfahren, z1=(0.8, 1), Zoom
  • Basins of Attraction sin(z)=0 Tiruneh-Verfahren, z1=(10, 10), B=[-20, 18]x[-19, 19]
  • Basins of Attraction sin(z)=0 Tiruneh-Verfahren, z1=(10, 10), Zoom

Weitere Berechnungen / Experimente

Falls Sie die obigen Resultate nachvollziehen oder weitere Berechnungen / Experimente mit unterschiedlichsten Parametereinstellungen vornehmen möchten, steht hierfür die nachfolgende ZIP-Datei als Download zur Verfügung. Sie enthält einen Shader (CFF-Datei), der mit dem Programm Vision of Chaos für die Funktion auf dieser Seite für ca. 50 Iterationsverfahren die Berechnung der Basins of Attraction sowie der Konvergenzgeschwindigkeit (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen) ermöglicht.

 

Die Datei BFrain.zip, enthält die Palette (MAP-Datei), die auf meinen Webseiten bei der Berechnung und Einfärbung der Konvergenzgeschwindigkeit zugrunde lag (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen).

 

Rootfind sin(z)=0          BFrain.zip


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