Gegeben sind zwei Kreise mit den Radien r1 und r2 und dem Mittelspunktsabstand D.
Die beiden Kreise sollen nun durch eine von außen an beide Kreise angelegte, gemeinsame Tangente g verbunden werden (s. obige
Grafik). Diese Aufgabenstellung ergibt sich z.B. bei der Konstruktion eines Riementriebs oder einer straff gespannten Fahrradkette.
Die Herleitung der benötigten Größen für die die Kreise verbindenden Tangenten finden Sie auf der Seite
3D Mathe/3D Objekte/Riementrieb (Transmission).
Eine andere Verbindung soll durch einen von außen an beide Kreise angelegten Kreisbogen b mit gegebenem Radius R
derart erfolgen, dass der Kreisbogen die beiden Kreise jeweils tangential in genau einem Punkt berührt (s. obige Grafik). Dies kann z.B. bei der Konstruktion von Nocken einer
Nockenwelle angewendet werden.
Ebenfalls können so Ei-Kurven (s. 3D Ei) konstruiert werden.
Für R gilt die Bedingung:
Wo liegt der Mittelpunkt M dieses Verbindungskreises, wie lauten die Koordinaten der Berührpunkte?
Die folgenden Schritte stellen eine geometrische Lösung dar. Die Nummern der Schritte korrespondieren mit den numerierten Grafiken in der nachfolgenden Galerie.
-
Ausgangssituation
-
Schlage um M1 einen Kreis mit Radius R1 = R –
r1.
-
Schlage um M2 einen Kreis mit Radius R2 = R –
r2.
-
Schnittpunkte der Kreise ist der Mittelpunkt M des gesuchten Kreisbogens
b.
-
Schlage um M einen Kreis mit Radius R
-
Anschlusspunkte P1 und P2 ergeben sich durch die Geraden M-M1 bzw.
M-M2
-
fertige Lösung
R1 = R – r1 R2 = R –
r2
Abschließend noch einige Beispiele, bei denen die Parameter D, r2 bzw. R variiert werden:
r1, r2 ,R: fix D:
variabel
r1, R, D: fix r2: variabel
r1, r2 ,D: fix R:
variabel
Für zwei Kreise mit dem Mittelpunktsabstand D gilt: je größer R desto mehr nähert sich der Kreisbogen b dem Tangentenabschnitt t. Liegen die Kreise weiter
auseinander, so kann muss man für R im Vergleich zu den Kreisradien schon sehr hohe Werte einsetzen, um sich t anzunähern. In den beiden folgenden Animationen wird dies
beispielhaft gezeigt; dabei hat ein Kästchen die Größe 1 x 1.
Eine Erweiterung der vorherigen Aufgabe besteht darin, dass der von außen an beide Kreise angelegten Kreisbogen b zusätzlich
durch einen Punkt Q (p | q) außerhalb der Kreise verläuft. Dabei werden die Koordinaten p und q vorgegeben, der Radius R muss ermittelt werden.
Da der durch Q verlaufende Kreisbogen b die beiden Kreise jeweils in genau einem Punkt berühren soll, kann Q nicht völlig beliebig gewählt werden.
Zur Herleitung einer allgemeinen Lösung in geschlossener Form betrachte man die folgende Grafik.
Die Kreise mit den Mittelpunkten M1
und M2 haben die Radien r1
und r2, wobei M1
oBdA im Nullpunkt eines Koordinatensystems liegt und D den horizontalen Abstand der Mittelpunkte darstellt.
Für einen Punkt Q (p | q), der entweder
-
außerhalb beider Kreise,
-
auf einer der Kreisperipherien
-
oder innerhalb der "Linse" bei sich überlappenden Kreisen
liegt, sind für den tangentialen Bogen b die Koordinaten seines Mittelpunktes M (xM
| yM)
und sein Radius R gesucht.
Für alle diese Größen lassen sich mittels rechtwinkliger Dreiecke folgende Beziehungen aufstellen:
∆ (xM - xQ)²+
(yM - yQ)² = R²
∆ xM² + yM ² = (R - r1)²
∆ (D - xM)² + yM² = (R – r2)²
Zur Lösung dieses nichtlinearen Gleichungssystems habe ich WolframAlpha "bemüht".
Mir war klar, dass die allgemeinen Lösungen keine Einzeiler sein würden, aber das Resultat hat mich dann doch überrascht...
Lösung aufklappen
xM =
(4 r1³ r2 D - 4 r1³ r2 p - 4 r1² r2² D + 8 r1² r2² p + 4 r1² D³ - 4 r1² D² p - 4
r1² D p² + 4 r1² p³ + 4 r1² p q² - √((-4 r1³ r2 D + 4 r1³ r2
p + 4 r1² r2² D - 8 r1² r2² p - 4 r1² D³ + 4 r1² D² p + 4 r1² D p² - 4 r1² p³ - 4 r1² p q² + 4
r1 r2³ p - 4 r1 r2 D² p - 4 r1 r2 D p² + 4 r1 r2 D q² + 8 r1 r2 p³ + 8 r1
r2 p q² - 4 r2² D q² - 4 r2² p³ - 4 r2² p q² + 4 D³ q²)² - 4 (4 r1² D² - 8 r1² D p + 4 r1² p² + 4 r1² q² +
8 r1 r2 D p - 8 r1 r2 p² - 8 r1 r2 q² + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) (r14 r2² -
r14 q² - 2 r1³ r2³ + 2 r1³ r2 D² - 2 r1³ r2 p² + 2 r1³ r2 q² + r1² r24 - 2
r1² r2² D² + 4 r1² r2² p² - 2 r1² r2² q² + r1² D4 - 2 r1² D² p² + r1² p4 + 2 r1² p²
q² + r1² q4 - 2 r1 r2³ p² + 2 r1 r2³ q² + 2 r1 r2 D² p² - 2 r1 r2 D² q² - 2 r1
r2 p4 - 4 r1 r2 p² q² - 2 r1 r2 q4 - r24 q² + 2 r2² D² q² + r2² p4 + 2 r2² p² q² +
r2² q4 - D4 q²)) - 4 r1 r2³ p + 4 r1 r2 D² p + 4 r1 r2 D p² - 4 r1 r2 D q² - 8 r1
r2 p³ - 8 r1 r2 p q² + 4 r2² D q² + 4 r2² p³ + 4 r2² p q² - 4 D³ q²)/(2 (4 r1² D² - 8 r1² D p + 4
r1² p² + 4 r1² q² + 8 r1 r2 D p - 8 r1 r2 p² - 8 r1 r2 q² + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4
D² q²))
yM =
(-r2 r1 ² + r2² r1 - D² r1 + p² r1 + q² r1 + (D (4 r2 D r1 ³ - 4 r2 p r1 ³
+ 4 D³ r1 ² + 4 p³ r1 ² - 4 D p² r1 ² + 4 p q² r1 ² - 4 r2² D r1 ² + 8 r2² p r1² - 4 D² p r1² -
8 r2 p³ r1 + 4 r2 D p² r1 - 4 r2 D q² r1 - 8 r2 p q² r1 - 4 r2³ p r1 + 4
r2 D² p r1 + 4 r2² p³ - 4 D³ q² + 4 r2² D q² + 4 r2² p q² - √ ((-4 r2 D
r1³ + 4 r2 p r1³ - 4 D³ r1² - 4 p³ r1² + 4 D p² r1² - 4 p q² r1² + 4 r2² D r1² - 8
r2² p r1² + 4 D² p r1² + 8 r2 p³ r1 - 4 r2 D p² r1 + 4 r2 D q² r1 + 8 r2 p q²
r1 + 4 r2³ p r1 - 4 r2 D² p r1 - 4 r2² p³ + 4 D³ q² - 4 r2² D q² - 4 r2² p q²)² - 4 (4 D² r1² +
4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8 r2 D p r1 + 4 r2² p² +
4 r2² q² - 4 D² q²) (r2² r14 - q² r14 - 2 r2³ r1³ + 2 r2 D² r1³ - 2 r2 p² r1³ + 2
r2 q² r1³ + r24 r1² + D4 r1² + p4 r1² + q4 r1² - 2 r2² D² r1² + 4 r2² p²
r1² - 2 D² p² r1² - 2 r2² q² r1² + 2 p² q² r1² - 2 r2 p4 r1 - 2 r2 q4 r1 - 2 r2³ p²
r1 + 2 r2 D² p² r1 + 2 r2³ q² r1 - 2 r2 D² q² r1 - 4 r2 p² q² r1 + r2² p4 +
r2² q4 - r24 q² - D4 q² + 2 r2² D² q² + 2 r2² p² q²))) r1)/(4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p
r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8 r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) - (p (4
r2 D r1³ - 4 r2 p r1³ + 4 D³ r1² + 4 p³ r1² - 4 D p² r1² + 4 p q² r1² - 4 r2² D r1² +
8 r2² p r1² - 4 D² p r1² - 8 r2 p³ r1 + 4 r2 D p² r1 - 4 r2 D q² r1 - 8 r2 p q²
r1 - 4 r2³ p r1 + 4 r2 D² p r1 + 4 r2² p³ - 4 D³ q² + 4 r2² D q² + 4 r2² p q² - √ ((-4 r2 D r1³ + 4 r2 p r1³ - 4 D³ r1² - 4 p³ r1² + 4 D p² r1² - 4 p
q² r1² + 4 r2² D r1² - 8 r2² p r1² + 4 D² p r1² + 8 r2 p³ r1 - 4 r2 D p² r1 + 4
r2 D q² r1 + 8 r2 p q² r1 + 4 r2³ p r1 - 4 r2 D² p r1 - 4 r2² p³ + 4 D³ q² - 4 r2² D
q² - 4 r2² p q²)² - 4 (4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8
r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) (r2² r14 - q² r14 - 2 r2³ r1³ + 2 r2 D²
r1³ - 2 r2 p² r1³ + 2 r2 q² r1³ + r24 r1² + D4 r1² + p4 r1² + q4 r1² - 2
r2² D² r1² + 4 r2² p² r1² - 2 D² p² r1² - 2 r2² q² r1² + 2 p² q² r1² - 2 r2 p4 r1 - 2
r2 q4 r1 - 2 r2³ p² r1 + 2 r2 D² p² r1 + 2 r2³ q² r1 - 2 r2 D² q² r1 - 4
r2 p² q² r1 + r2² p4 + r2² q4 - r24 q² - D4 q² + 2 r2² D² q² + 2 r2² p² q²))) r1)/(4 D² r1² + 4
p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8 r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4
r2² q² - 4 D² q²) - r2 p² - r2 q² + (r2 p (4 r2 D r1³ - 4 r2 p r1³ + 4 D³ r1² + 4 p³
r1² - 4 D p² r1² + 4 p q² r1² - 4 r2² D r1² + 8 r2² p r1² - 4 D² p r1² - 8 r2 p³ r1 +
4 r2 D p² r1 - 4 r2 D q² r1 - 8 r2 p q² r1 - 4 r2³ p r1 + 4 r2 D² p r1 + 4
r2² p³ - 4 D³ q² + 4 r2² D q² + 4 r2² p q² - √ ((-4 r2 D r1³ + 4 r2 p
r1³ - 4 D³ r1² - 4 p³ r1² + 4 D p² r1² - 4 p q² r1² + 4 r2² D r1² - 8 r2² p r1² + 4 D² p
r1² + 8 r2 p³ r1 - 4 r2 D p² r1 + 4 r2 D q² r1 + 8 r2 p q² r1 + 4 r2³ p r1
- 4 r2 D² p r1 - 4 r2² p³ + 4 D³ q² - 4 r2² D q² - 4 r2² p q²)² - 4 (4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p
r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8 r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) (r2²
r14 - q² r14 - 2 r2³ r1³ + 2 r2 D² r1³ - 2 r2 p² r1³ + 2 r2 q² r1³ + r24
r1² + D4 r1² + p4 r1² + q4 r1² - 2 r2² D² r1² + 4 r2² p² r1² - 2 D² p² r1² - 2 r2² q²
r1² + 2 p² q² r1² - 2 r2 p4 r1 - 2 r2 q4 r1 - 2 r2³ p² r1 + 2 r2 D² p² r1 + 2
r2³ q² r1 - 2 r2 D² q² r1 - 4 r2 p² q² r1 + r2² p4 + r2² q4 - r24 q² - D4 q² + 2 r2²
D² q² + 2 r2² p² q²))))/(4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 +
8 r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²))/(2 r1 q - 2 r2 q)
R =
((4 r1² D4)/(4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8
r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) - (4 q² D4)/(4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8
r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8 r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) - (4 r1² p D³)/(4 D²
r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8 r2 D p r1 + 4
r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) + (4 r1 r2 p D³)/(4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2
p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8 r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) - (4 r1² r2² D²)/(4 D²
r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8 r2 D p r1 + 4
r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) - (4 r1² p² D²)/(4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p²
r1 - 8 r2 q² r1 + 8 r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) + (4 r1 r2 p² D²)/(4 D²
r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8 r2 D p r1 + 4
r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) + (4 r2² q² D²)/(4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p²
r1 - 8 r2 q² r1 + 8 r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) - (4 r1 r2 q² D²)/(4 D²
r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8 r2 D p r1 + 4
r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) + (4 r1³ r2 D²)/(4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2
p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8 r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) - D² - ( √ ((-4 r2 D r1³ + 4 r2 p r1³ - 4 D³ r1² - 4 p³ r1² + 4 D p² r1² - 4
p q² r1² + 4 r2² D r1² - 8 r2² p r1² + 4 D² p r1² + 8 r2 p³ r1 - 4 r2 D p² r1 + 4
r2 D q² r1 + 8 r2 p q² r1 + 4 r2³ p r1 - 4 r2 D² p r1 - 4 r2² p³ + 4 D³ q² - 4 r2² D
q² - 4 r2² p q²)² - 4 (4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8
r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) (r2² r14 - q² r14 - 2 r2³ r1³ + 2 r2 D²
r1³ - 2 r2 p² r1³ + 2 r2 q² r1³ + r24 r1² + D4 r1² + p4 r1² + q4 r1² - 2
r2² D² r1² + 4 r2² p² r1² - 2 D² p² r1² - 2 r2² q² r1² + 2 p² q² r1² - 2 r2 p4 r1 - 2
r2 q4 r1 - 2 r2³ p² r1 + 2 r2 D² p² r1 + 2 r2³ q² r1 - 2 r2 D² q² r1 - 4
r2 p² q² r1 + r2² p4 + r2² q4 - r24 q² - D4 q² + 2 r2² D² q² + 2 r2² p² q²)) D)/(4 D² r1² + 4 p²
r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8 r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4
r2² q² - 4 D² q²) + (4 r1² p³ D)/(4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2
q² r1 + 8 r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) + (4 r2² p³ D)/(4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q²
r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8 r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D²
q²) - (8 r1 r2 p³ D)/(4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q²
r1 + 8 r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) + (4 r1² p q² D)/(4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q²
r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8 r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D²
q²) + (4 r2² p q² D)/(4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8
r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) - (8 r1 r2 p q² D)/(4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² -
8 D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8 r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) - (4
r1 r2³ p D)/(4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8
r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) + (8 r1² r2² p D)/(4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8
D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8 r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) - (4
r1³ r2 p D)/(4 D² r1² + 4 p² r1² + 4 q² r1² - 8 D p r1² - 8 r2 p² r1 - 8 r2 q² r1 + 8
r2 D p r1 + 4 r2² p² + 4 r2² q² - 4 D² q²) - r1² + r2²)/(2 r2 - 2 r1)
Zuklappen
Bis auf Spezialfälle (s. u.) gibt es stets die obigen zwei Lösungen, wobei sich die zweite Lösung dadurch ergibt, dass an den rot
markierten Stellen die Vorzeichen der Quadratwurzel invertiert werden. In den folgenden Galerien sollen verschiedene Szenarien mit diversen Kreisen und Plazierungen von Q aufgezeigt werden. Für
die Grafiken gilt dabei die folgende Zuordnung:
¤ : Kreis1
¤ : Kreis2
•
: Punkt Q (p | q)
Ο, Ο : Lösungskreise
+,
+
: Mittelpunkte der Lösungskreise
•,
•
: Endpunkte der Lösungsbögen b1 und b2
Die folgende Galerie zeigt zunächst einige Standarfälle (s. obige Definition).
