Kreise verbinden

Kreise mit gemeinsamer Tangente / tangentialem Kreisbogen verbinden

Gegeben sind zwei Kreise mit den Radien r1 und r2 und dem Mittelspunktsabstand D.

Kreise mit gemeinsamer Tangente verbinden

Die beiden Kreise sollen nun durch eine von außen an beide Kreise angelegte, gemeinsame Tangente g verbunden werden (s. obige Grafik). Diese Aufgabenstellung ergibt sich z.B. bei der Konstruktion eines Riementriebs oder einer straff gespannten Fahrradkette.

 

Die Herleitung der benötigten Größen für die die Kreise verbindenden Tangenten finden Sie auf der Seite
3D Mathe/3D Objekte/Riementrieb (Transmission).

 

Kreise mit tangentialem Kreisbogen verbinden

Eine andere Verbindung soll durch einen von außen an beide Kreise angelegten Kreisbogen b mit gegebenem Radius R derart erfolgen, dass der Kreisbogen die beiden Kreise jeweils tangential in genau einem Punkt berührt (s. obige Grafik). Dies kann z.B. bei der Konstruktion von Nocken einer Nockenwelle angewendet werden. Ebenfalls können so Ei-Kurven (s. 3D Ei) konstruiert werden.

 

Für R gilt die Bedingung:

Wo liegt der Mittelpunkt M dieses Verbindungskreises, wie lauten die Koordinaten der Berührpunkte?

 

Geometrische Lösung

Die folgenden Schritte stellen eine geometrische Lösung dar. Die Nummern der Schritte korrespondieren mit den numerierten Grafiken in der nachfolgenden Galerie.  

  1. Ausgangssituation
  2. Schlage um M1 einen Kreis mit Radius R1 = R – r1.
  3. Schlage um M2 einen Kreis mit Radius R2 = R – r2.
  4. Schnittpunkte der Kreise ist der Mittelpunkt M des gesuchten Kreisbogens b.
  5. Schlage um M einen Kreis mit Radius R
  6. Anschlusspunkte P1 und P2 ergeben sich durch die Geraden M-M1 bzw. M-M2 
  7. fertige Lösung

Analytische Lösung

  R1 = R – r1       R2 = R – r2

 

 

Abschließend noch einige Beispiele, bei denen die Parameter D, r2 bzw. R variiert werden:

r1, r2 ,R:  fix    D: variabel

r1, R, D:  fix    r2: variabel


r1, r2 ,D:  fix    R: variabel

 

Für zwei Kreise mit dem Mittelpunktsabstand D gilt: je größer R desto mehr nähert sich der Kreisbogen b dem Tangentenabschnitt t. Liegen die Kreise weiter auseinander, so kann muss man für R im Vergleich zu den Kreisradien schon sehr hohe Werte einsetzen, um sich t anzunähern. In den beiden folgenden Animationen wird dies beispielhaft gezeigt; dabei hat ein Kästchen die Größe 1 x 1.

Kreise mit tangentialem Kreisbogen durch "externen" Punkt verbinden

Eine Erweiterung der vorherigen Aufgabe besteht darin, dass der von außen an beide Kreise angelegten Kreisbogen b zusätzlich durch einen Punkt Q außerhalb der Kreise verläuft. Dabei werden die Koordinaten des Punktes Q vorgegeben, der Radius R muss ermittelt werden.

 

Da der durch Q verlaufende Kreisbogen b die beiden Kreise jeweils in genau einem Punkt berühren soll, kann Q nicht völlig beliebig gewählt werden. Wie auch bei der vorherigen Problemstellung beträgt der minimal mögliche Radius Rmin des Kreisbogens   ½ (r1+D+r2), d.h. Q liegt bei diesem Wert für dann auf dem Umkreis mit Radius Rmin. (blau in obigen Grafiken). Liegt Q nah am Tangentenabschnitt t, so kann R sehr große Werte annehmen bis hin zu , falls Q genau auf t liegt.

 

Eine erste Näherungslösung ist die Iteration von R, d.h. für einen Punkt Q wird ausgehend von Rmin = ½ (r1+D+r2) der Wert für R solange erhöht, bis die Strecke MQ  annähernd so groß wie R  ist. Die folgenden Animationen zeigen dazu ein paar Beispiele, wobei der Punkt Q sich auf verschiedenen Wegen bewegt. Der erscheinende "einsame" cyan-farbene Punkt ist der Mittelpunkt M des Kreisbogens b.


Ich arbeite an einer Lösung in geschlossener Form...