3D Fliehkraftregler

In einer gemeinsamen Firma produzierte James Watt (1736 - 1819) zusammen mit Matthew Boulton (1728 - 1809) Dampfmaschinen. Ein Problem bestand darin, dass zum Erreichen einer konstanten Drehzahl die Dampfzufuhr laufend manuell eingestellt werden musste. Im Jahr 1788 entdeckte Boulton den Fliehkraftregler beim Windmühlenbau und setzte ihn zur Drehzahlregelung der Dampfmaschinen ein [1].

Watt / Boulton-Regler

An einer mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Drehachse sind zwei Hebel der Länge L beweglich befestigt, an deren Enden sich zwei Kugeln der Masse M befinden. Im Abstand a vom Drehpunkt sind an den Hebeln zwei weitere kurze Stangen der Länge a befestigt, die eine auf der Achse gleitende Hülse der Masse m heben oder senken. Je größer die Winkelgeschwindig-keit ist, desto größer wird der Winkel α zwischen Achse und Hebel und desto höher steigt die Hülse.

Diese Höhenänderung wird über ein Hebelsystem zur Regelung der Dampfzufuhr bei der Dampfmaschine genutzt, s. folgende Animation [3].

 

Animation Dampfmaschine mit Boulton-Fliehkraftregler

 

Für die obige Animation des Fliehkraftreglers wird der Winkel α zwischen Mittel- und Gewichtsstange benötigt. Aus diesem können dann weitere Größen, wie z.B. die Höhe h des Gleitzylinders und die räumliche Position der Mittelpunkte der Gewichtskugeln hergeleitet werden.

Kräfte am Boulton-Fliehkraftregler

Im Gleichgewichtsfall ist - unter Vernachlässigung des Gewichts der Hülse mit der Masse m und der Stangen - die vektorielle Summe der Gewichtskraft FG der Kugelmasse M und der an der Stange ziehenden Kraft FS gleich der Zentrifugalkraft FZ . Daraus ergibt sich:

Kräfte am Boulton-Fliehkraftregler

Fliehkraftregler nach Boulton - Abhängigkeit Winkel und Höhe von Drehzahl

Mit der Umdrehungszahl in 1/min folgt hieraus:

Fliehkraftregler nach Boulton - Abhängigkeit Winkel und Höhe von Drehzahl

In der Praxis nachteilig beim Watt/Boulton-Regler ist die Tatsache, dass sich der Winkel α schon bei relativ kleiner Drehzahl N dem Grenzwinkel von 90° annähert und die Höhendifferenz Δh sich nur für einen relativ kleinen Drehzahlbereich brauchbar zur Regelung verwenden lässt. In der Abblidung rechts ist dies für ein Beipiel dargestellt.

Fliehkraftregler nach Boulton - Abhängigkeit Winkel, Höhe von Drehzahl mit großer Masse m

Bezieht man die Masse m der Hülse beim obigen Regler mit ein, so ergibt sich nach Herleitung unter Berücksichtigung der auftretenden Drehmomente [4] für den Winkel α:

Fliehkraftregler nach Boulton - Abhängigkeit Winkel, Höhe von Drehzahl mit großer Masse m

Insbesondere wenn man die Masse m der Hülse signifikant erhöht, so ergibt sich ein deutlich größerer Bereich für die Regelung, wie dies in der Abbildung rechts exemplarisch dargestellt ist.

Porter-Regler

Genau diesen Effekt macht sich der Porter-Fliehkraftregler zunutze.

Fliehkraftregler nach Porter - Abhängigkeit Winkel und Höhe von Drehzahl

Zum einen befindet sich auf der Hülse eine zusätzliche schwere zentrale Last. Zum anderen sind die Hebel anders angeordnet, und es gilt a = L. Somit ergibt sich für den Winkel α:

Fliehkraftregler nach Porter - Abhängigkeit Winkel und Höhe von Drehzahl

und für die Höhe h (N in 1/min):

Fliehkraftregler nach Porter - Abhängigkeit Winkel und Höhe von Drehzahl

d.h. die zur Regelung benötigte Höhe ist (1 + m/M)-mal größer als beim Watt / Boulton-Regler und eignet sich somit auch für höhere Drehzahlen (vgl. Abbildung rechts mit den obigen Diagrammen).

Eine Übersicht anderer Bauformen für Regler mit mathematischer Betrachtung findet man z.B. bei [4].

 

Abschließend noch ein animiertes Modell einer Dampfmaschine, das mit EXCEL und VBA [6] erstellt wurde. Hier "öffnet/schließ"t der Watt / Boulton-Regler A über ein Gestänge das Dampfventil B.

Dampfmaschine nach Watt / Boulton