Algebraische Flächen mit Singularitäten - 1
Bei den Flächen auf dieser Seite handelt es sich ausschließlich um algebraische Flächen. Dies sind Flächen in impliziter
Darstellung, d.h. f (x, y, z) = 0 wobei
f (x, y, z) stets ein Polynom ist:
f = a1 m1 + a2 m2 + … + ar mr mit r ∊ {1, 2, 3, ...} und a1, a2, …, ar ∊ ℝ \ {0}
Hierbei ist mi ein Monom, d.h. es enthält nur Kombinationen aus Potenzen der Variablen x, y, z, wobei die Exponenten größer oder gleich 0 sind:
mi = xj yk zl mit j, k, l ∊ {0, 1, 2, 3, ...}
Unter dem Grad (engl. degree) eines Monoms m versteht man die Summe seiner Exponenten:
deg (m) = j + k + l,
der Grad d des Polynoms ist das Maximum der Grade der Monome:
d = deg (f) = max ( { deg (mi) }i=1,..,r )
Beispiele:
-
x² + y² + z² + 2
x y z – 1
d = 3, da deg (x y z) = 1 + 1 + 1 = 3
die Fläche mit f (x,y,z) = 0 nennt man Cubic
-
(x² + y² + z²)²
+ 8 x y z - 10 (x² +y² +
z²) + 25
d = 4, da die Auflösung der ersten Klammer ergibt: x4 + y4 + z4 + 2 x²y² + 2x²z² + 2y²z²
die Fläche mit f (x,y,z) = 0 nennt man Quadric
Algebraische Flächen können "glatt" sein, wie z.B. Kugel, Zylinder und Torus (vgl. Implizite Flächen). Es existieren jedoch auch solche Flächen, bei denen sich Teile der Fläche in einer "Spitze" berühren, wie z.B. beim Kegel mit der Gleichung f (x, y, z) = x² + y² - z² = 0 im Punkt (0 | 0 |0):
oder es existieren mehrere solcher Spitzen, wie z.B. bei den folgenden beiden Flächen.
Caley Cubic (Endraß):
4 (x² + y² + z²) + 16 x y z – 1 = 0
4 Spitzen liegen auf den Ecken eines Tetraeders in den Punkten
( ½ | ½ |
-½)
(-½
| ½
| ½)
(-½
| -½
| -½)
( ½
| -½
| ½)
Derartige Spitzen nennt man
Singularitäten. Singularitäten können sehr unterschiedlich aussehen (insbesondere nicht unbedingt spitz, s. auch ganz unten) und tauchen in vielen anderen
Gebieten der Mathematik, Physik, Technik und Natur auf.
Ein Punkt P (px | py | pz) einer
algebraischen Fläche mit der Gleichung f (x, y, z) = 0 heißt Singularität, falls sowohl
als auch alle partiellen Ableitungen von f gleich Null sind:
Andernfalls heißt P glatt (engl. smooth).
Während für jeden glatten Punkt einer algebraischen Fläche f eine Tangentialebene in diesem Punkt existiert, da der Gradient für f in diesem Punkt ungleich (0, 0, 0) ist, ist dies bei einer Singularität im Punkt P nicht der Fall, da ja für den Gradient im Punkt P gilt:
Algebraische Flächen mit A1-Singularitäten ("nodes")
Die Singularitäten der obigen Beispiele sind die einfachsten Singularitäten und heißen gewöhnliche Doppelpunkte (engl. nodes) bzw. A1-Singularität. Eine solcher gewöhnlicher Doppelpunkt P hat unter allen Singularitäten die besondere Eigenschaft, dass die Determinate der Hessematrix H im Punkt P nicht verschwindet (also ungleich 0 ist):
Für die obige Quadrik ergibt sich z.B. für den Punkt (0 | √5 | 0) folgender Nachweis:
daraus folgt: Singularität im Punkt (0 | √5 | 0)
daraus folgt: (0 | √5 | 0) ist ein gewöhnlicher Doppelpunkt.
Eine Frage in der Grundlagenforschung auf dem Gebiet der algebraischen Geometrie ist die, wie viele Singularitäten eine algebraische Fläche vom Grad d maximal besitzen kann; diese Größe wird als µ(d) bezeichnet.
Für eine Ebene (d = 1) ist µ(d) = 0, für den Kegel (d = 2) ist µ(d) = 1. Für d = 3 ... 6 konnte µ(d) eindeutig bestimmt und entsprechende Flächen konstruiert werden:
| Grad | Fläche | µ (d) |
| 3 |
Caley Cubic • 1863 - Ludwig Schläfli: Beweis, dass µ (3) = 4 |
4 |
| 4 |
Kummer Quartic • 1875 - Eduard Kummer: Beweis, dass µ (4) = 16 |
16 |
| 5 |
Togliatti Quintic
• 1937 - E. Giuseppe Togliatti: Beweis der
Existenz der Quintic • 1980 - Arnaud Beauville: Beweis, dass µ (5) = 31 • 1990 - Konstruktion durch Wolf Barth |
31 |
| 6 |
Barth Sextic • 1996 - Konstruktion durch Wolf Barth • 1997 - Beweis, dass µ (6) = 65 |
65 |
Für d ≥ 7 wurden keine eindeutigen Werte für µ (d) gefunden, es wurden aber untere und obere Schranken für µ(d) nachgewiesen. Für die in den letzten drei Dekaden konstruierten Flächen in folgender Tabelle ist µ (d) gleich der unteren Schranke, die obere Schranke wurde nicht erreicht, und es ist auch noch nicht bekannt, ob sie je erreicht wird.
Die Konstruktion einer Fläche vom Grad d ≥ 7 mit der bislang größten Anzahl an Singularitäten stellt quasi einen Weltrekord dar; solch eine Fläche wird daher auch als "Weltrekordfläche" bezeichnet.
| Zeit | Grad d | µ (d) ≥ | Fläche | µ (d) ≤ |
| 2004 | 7 | 99 |
Labs Septic (Oliver Labs) |
104 |
| 1995 | 8 | 168 |
Endrass Octic (Stefan Endraß) |
174 |
| 2014 | 9 | 216 |
Escudero Nonic (Juan Escudero) (220 nodes) |
246 |
| 1996 | 10 | 345 | Barth Decic (Wolf Barth) | 360 |
| 1992 | 11 | 425 |
Chmutov Surface |
480 |
| 2006 | 12 | 600 |
Sarti Dodecic (Allessandra Sarti) |
645 |
| 1992 | 13 | 732 | Chmutov Surface | 829 |
In der obigen Tabelle ist µ (d) die maximal mögliche Anzahl komplexer Singularitäten einer algebraischen Fläche, wobei das zugrunde liegende Polynom auch komplexe Koeffizienten ai (vgl. ganz oben auf der Seite) haben darf. Es stellte sich aber heraus, dass in keinem der in der Tabelle aufgeführten Fälle eine bessere obere oder untere Schranke für eine reelle Variante µℝ (d) bekannt ist, so dass dort nicht weiter zwischen µℝ (d) und µ (d) unterschieden wird. Insbesondere haben alle Flächen, die die in der Tabelle angegebenen unteren Schranken realisieren, ausschließlich reelle Singularitäten, so dass diese visualisiert werden können (s. folgende Galerie).
Flächen mit A1-Singularitäten - Galerie
Die Gleichungen, Parameterwerte sowie weitere Informationen / Besonderheiten zu den folgenden Flächen finden Sie in der Tabelle am Ende der Seite.
Bei den meisten Flächen gibt es mehrere Ansichten. Verwenden
Sie die Steuerelemente oder klicken Sie auf die
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.
Caley Cubic 2
Labs Cubic
Goursat Quartic I (12 nodes)
Goursat Quartic II (12 nodes)
Goursat Quartic III (12 nodes)
Goursat Quartic IV a (12 nodes)
Goursat Quartic IV b (12 nodes)
Goursat Quartic V (12 nodes)
Goursat Quartic VI (12 nodes)
Goursat Quartic VII a (12 nodes)
Goursat Quartic VII b (12 nodes)
Goursat Quartic VIII a (12 nodes)
Goursat Quartic VIII b (12 nodes)
Goursat Sextic I (30 nodes)
Goursat Sextic II (30 nodes)
Sarti Sextic (48 nodes)
Flächen mit A1-Singularitäten - Tabelle der Funktionen und Parameter
| Fläche | Funktion | x | y | z |
| Caley Cubic |
x^3+y^3+z^3+1-0.25*(x+y+z+1)^3 = 0 mit x^2+y^2+z^2 <= 4^2 Die 4 Singularitäten (1 | -1 | 1), (1 | 1 | -1), (-1 | 1 | 1), (-1 | -1 | -1) bilden Eckpunkte eines Tetraeders, die 6 reellen Geraden sind die verlängerten Kanten des Tetraeders. |
-4 : 4
|
-4 : 4
|
-4 : 4
|
|
Version Hunt:
(x+y+z-a) (x*y+y*z+z*x) - 2*x*y*z = 0 a = 0.4
Von den 9 reellen Geraden liegen 6 (weiß) auf den Kanten desTetraeders,
(x = -a/2, y = -u, z = u), (x = -u, y = -a/2, z = u), (x = -u, y = u, z = -a/2).
|
-1 : 1 |
-1
: 1 |
-1 : 1 |
|
|
Version Endraß:
(x+y+z+1)*(-x-y+z+1)*(x-y-z+1) + (x+y+z+1)*(-x-y+z+1)*(-x+y-z+1)
Die 6 reellen Geraden (weiß) liegen auf den Kanten desTetraeders, der durch die 4 Singularitäten |
-2.5
: 2.5 |
-2.5
: 2.5 |
-2.5
: 2.5 |
|
|
-x^2+z*x^2+y^2*z-2*z^3+3*z^2-z=0 x^2+y^2+z^2<=9 |
-3
: 3 |
-3
: 3 |
-3
: 3 |
|
|
Labs
|
x^3+3x^2-3x*y^2+3y^2-4+z^3+3z^2 = 0
x^2+y^2+z^2 <= 6^2 |
-6
: 6 |
-6
: 6 |
-6
: 6 |
|
Goursat Quartic
|
erzeugende Gleichung: x^4+y^4+z^4 + k1*(x^2+y^2+z^2)^2 + k2*a^2*(x^2+y^2+z^2) + k3*a^4 = 0 |
|||
|
Typ I (12 nodes):
k1 = 0 k2 = -2 k3 = 2 a = 2 12 Singularitäten (± a, ± a, 0) in den Scheitelpunkten des Kuboktaeders
max ( 2|x|, 2|y|, 2|z|, |x+y+z|, |-x+y+z|, |x-y+z|, |x+y-z| ) = a² |
-2
: 2 |
-2
: 2 |
-2
: 2 |
|
|
Typ II (12 nodes):
k1 = 0 k2 = 2 k3 = -2 a = 2 12 reelle Geraden auf den Kanten des Oktaeders
|x| + |y| + |z| = a |
-3.5
: 3.5 |
-3.5
: 3.5 |
-3.5
: 3.5 |
|
|
Typ III (12 nodes):
k1 = -1/2 k2 = 1 k3 = -3/2 a = 2 12 reelle Geraden auf den Diagonalen des Würfels max ( |x|, |y|, |z| ) = a |
-4
: 4 |
-4
: 4 |
-4
: 4 |
|
|
Typ IV a (12 nodes):
k1 = -1 k2 = 4 k3 = -6 a = 2 12 reelle Geraden als verlängerte Kanten des Würfels max ( |x|, |y|, |z| ) = a
Typ IV b (12 nodes):
k1 = -1 k2 = 4 k3 = -6 a = 2 gleiche Fläche wie Typ IV a |
-3
: 3
-6 : 6 |
-3
: 3
-6 : 6 |
-3
: 3
-6 : 6 |
|
|
Typ V (12 nodes):
k1 = -1/3 k2 = -2/3 k3 = 2/3 a = -2 12 Singularitäten (± a, ± a, 0) in den Scheitelpunkten des Kuboktaeders
max ( 2|x|, 2|y|, 2|z|, |x+y+z|, |-x+y+z|, |x-y+z|, |x+y-z| ) = a² |
-3.5 : 3.5 |
-3.5 : 3.5 |
-3.5 : 3.5 |
|
|
Typ VI (12 nodes):
k1 = -1 k2 = 2 k3 = -2 a = 2 12 Singularitäten (± a, ± a, 0) in den Scheitelpunkten des Kuboktaeders max ( 2|x|, 2|y|, 2|z|, |x+y+z|, |-x+y+z|, |x-y+z|, |x+y-z| ) = a² 12 reelle Geraden als verlängerte Diagonalen der Quadrate des Kuboktaeders
|
-3.5 : 3.5 |
-3.5
: 3.5 |
-3.5
: 3.5 |
|
|
erzeugende Gleichung: (x+y+z-s) (-x-y+z-s) (x-y-z-s) (-x+y-z-s) - t * (x^2+y^2+z^2-3*s)^2 = 0 |
||||
|
Typ VII a (12 nodes):
s = 1 t = 1 4 Dreifach-Singularitäten auf den Ecken (1 | 1 | -1), (-1 | 1 | 1), (1 | -1 | 1), (-1 | -1 | -1) des Tetraeders
max(abs(-x+y+z-1),max(abs(x-y+z-1),max(abs(x+y-z-1),abs(-x-y-z-1))))-2=0 |
-3
: 3 |
-3
: 3 |
-3
: 3 |
|
|
Typ VII b (12 nodes):
s = 2 t = 1 12 Singularitäten in den Seitenmitten von 4 der 8 Dreiecksflächen des Kuboktaeders
|
||||
|
Typ VIII a (12 nodes):
s = 1 t = 2 4 Dreifach-Singularitäten auf den Ecken (1 | 1 | -1), (-1 | 1 | 1), (1 | -1 | 1), (-1 | -1 | -1) des Tetraeders
max(abs(-x+y+z-1),max(abs(x-y+z-1),max(abs(x+y-z-1),abs(-x-y-z-1))))-2=0
|
||||
|
Typ VIII b (12 nodes):
s = 2 t = 2 12 Singularitäten in den Seitenmitten von 4 der 8 Dreiecksflächen des Kuboktaeders
|
||||
|
Kummer
|
a=0.5 s=√2 (x^2+y^2+z^2-2.25)^2-5.75/0.75*(1-z-s*x)*(1-z+s*x)*(1+z+s*y)*(1+z-s*y) = 0
x^2+y^2+z^2<=4 |
-4
: 4 |
-4
: 4 |
-4
: 4 |
|
Nordstrand
|
25(x^3(y+z)+y^3(x+z)+z^3(x+y))+50(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)-125(x^2*y*z+y^2*x*z+z^2*x*y)
x^2+y^2+z^2 <= 2^2 |
-2 : 2 |
-2 : 2 |
-2 : 2 |
|
Sauermann Quintic
|
x^5-10*x^3*y^2-5*(x^2+y^2)^2+20*(x^2+y^2)+5*x*y^4+8*(0.5*z^7-3.5*z^5+7*z^3-3.5*z-1)-16 x^2+y^2<=25 |
-5 : 5 |
-5 : 5 |
-5 : 5 |
|
Togliatti
|
w=1 64*(x*w)*(x^4-4*w*x^3-10*x^2*y^2-4*x^2*w^2+16*w^3*x-20*w*x*y^2+5*y^4 +16*w^4-20*y^2*w^2)-5*√(5-√5)*(2*z-√(5-√5)*w)*(4*(x^2+y^2-z^2)+(1+3*√5)*w^2)^2 = 0
x^2+y^2+z^2 <= 8^2 |
-8
: 8 |
-8
: 8 |
-8
: 8 |
|
Version Barth:
a=-(8/5)*(1+1/(√5))*sqrt(5-√5) b= (1/4)*(1+3*√5) c=(1/2)*sqrt(5-√5)
a*(x-z)*(cos((2*pi)/5)*x-sin((2*pi)/5)*y-z)*(cos((4*pi)/5)*x-sin((4*pi)/5)*y-z)*(cos((6*pi)/5)*x-sin((6*pi)/5)*y-z)*(cos((8*pi)/5)*x-sin((8*pi)/5)*y-z)+(1-c*z)*(x^2+y^2-1+b*z^2)^2 = 0
x^2+y^2+z^2 <= 4^2 |
-8
: 8 |
-8
: 8 |
-8
: 8 |
|
|
Goursat Sextic |
erzeugende Gleichung: z^6-5*(x^2+y^2)*z^4+5*(x^2+y^2)^2*z^2-2(x^4-10x^2*y^2+5*y^4)*x*z +k1*(x^2+y^2+z^2)^3+k2*a^2*(x^2+y^2+z^2)^2+k3*a^4*(x^2+y^2+z^2)+k4*a^6 = 0
x^2+y^2+z^2 <= 3^2 |
|||
|
Typ I (30 nodes):
k1 = 0 k2 = 1 k3 = -2 k4 = 1 a = 1 Fläche mit 30 Singularitäten an den Ecken eines Ikosidodekaeders, bestehend aus 20 Teilflächen, deren Grundflächen die dreieckigen Flächen des Ikosidodekaeders sind.
|Φx+y| + |Φx-y| + |Φy+z| + |Φy-z| + |Φz+x| + |Φz-x| = 2Φ³ a Φ = ½ (1+√5) |
-3
: 3 |
-3
: 3 |
-3
: 3 |
|
|
Typ II (30 nodes):
k1 = 0 k2 = -1 k3 = 2 k4 = -1 a = 1
Fläche mit 30 Singularitäten an den Ecken eines Ikosidodekaeders, bestehend aus 12 Teilflächen, deren Grundflächen die
fünfeckigen Flächen des Ikosidodekaeders sind.
|Φx+y| + |Φx-y| + |Φy+z| + |Φy-z| + |Φz+x| + |Φz-x| = 2Φ³ a Φ = ½ (1+√5)
|
||||
|
Sarti
|
w=1
x^6+y^6+z^6+w^6+15(x^2*y^2*z^2+x^2*y^2*w^2)+15(x^2*z^2*w^2+y^2*z^2*w^2) -
x^2+y^2+z^2<=16
Variante 2: x^6+y^6+z^6+w^6+15(x^2*y^2*z^2+x^2*y^2*w^2) +15(x^2*z^2*w^2+y^2*z^2*w^2)-2/3(x^2+y^2+z^2+w^2)^3 = 0 |
-4
: 4 |
-4
: 4 |
-4
: 4 |
|
Escudero Sextic
|
d=6
L(x,y,k) = y-(cos(k*2*pi/(6d))-x)*tan(k*pi/(6d))-sin(k*2*pi/(6d)) lambda(d) = 3^((1-(-1)^d)/4)*(-1)^(floor((d+3)/6)+1) J(x,y)=lambda(d)*L(x,y,1)*L(x,y,7)*L(x,y,13)*L(x,y,19)*L(x,y,25)*L(x,y,31) Q(x,y,z) = J(x,y)+(-1)^(d+1)/4*(J(z,0)-1+(-1)^(d+1)*2) = 0
x^2+y^2+z^2 <=25 |
-5
: 5 |
-5
: 5 |
-5
: 5 |
|
Barth
|
p= (1+√5)/2 q=p^2
4*(q*x^2-y^2)*(q*y^2-z^2)*(q*z^2-x^2)-(1+2*p)*(x^2+y^2+z^2-1)^2 = 0
Die Fläche besteht aus 20 kleinen "Tetraedern“, die auf den 20 Dreiecksflächen eines Ikosidodekaeder "platziert" sind.
|Φx+y| + |Φx-y| + |Φy+z| + |Φy-z| + |Φz+x| + |Φz-x| = 2Φ³ a Φ = ½ (1+√5) |
-2
: 2 |
-2
: 2 |
-2
: 2 |
|
Septic
|
x^5-10*x^3*y^2-5*(x^2+y^2)^2+20*(x^2+y^2)+5*x*y^4+8*(0.5*z^7-3.5*z^5+7*z^3-3.5*z-1)-16 = 0 |
-5
: 5 |
-5
: 5 |
-5
: 5 |
|
Labs
|
b= - 0.140106854987124776454220549858
x^7-21*x^5*y^2+35*x^3*y^4-7*x*y^6+7*x^6+21*x^4*y^2+21*x^2*y^4+7*y^6-57*x^4-114*x^2*y^2- -100)*x^2*y^2*z^3+(-49*b^2+7*b-50)*y^4*z^3+(5776/7*b^2-5648/49*b+5888/7)*x^2*z^3 +(5776/7*b^2-5648/49*b+5888/7)*y^2*z^3+(-313136/343*b^2+6288/49*b-319264/343)*z^3 +(3680/7*b^2-3608/49*b+536)*x^2*z^4+(3680/7*b^2-3608/49*b+536)*y^2*z^4+(-592240/343*b^2 +11856/49*b-603856/343)*z^4+(816/7*b^2-800/49*b+832/7)*x^2*z^5+(816/7*b^2-800/49*b +832/7)*y^2*z^5+(-458832/343*b^2+1312/7*b-467840/343)*z^5+(-166272/343*b^2+3328/49*b -169536/343)*z^6+(-166272/2401*b^2+3328/343*b-169536/2401)*z^7 = 0
x^2+y^2+z^2<=64 |
-8
: 8 |
-8
: 8 |
-8
: 8 |
|
Heider
|
(x*0.8358-(z-0.5)*0.549)*(x*cos(2*pi/7)*0.8358-y*sin(2*pi/7)*0.8358-(z-0.5)*0.549) *(x*cos(4*pi/7)*0.8358-y*sin(4*pi/7)*0.8358-(z-0.5)*0.549)*(x*cos(6*pi/7)*0.8358 -y*sin(6*pi/7)*0.8358-(z-0.5)*0.549)*(x*cos(8*pi/7)*0.8358-y*sin(8*pi/7)*0.8358 -(z-0.5)*0.549)*(x*cos(10*pi/7)*0.8358-y*sin(10*pi/7)*0.8358-(z-0.5)*0.549) *(x*cos(12*pi/7)*0.8358-y*sin(12*pi/7)*0.8358-(z-0.5)*0.549)-(x^2+y^2-4.731)^2 = 0
x^2+y^2+z^2<=49 |
-7
: 7 |
-7
: 7 |
-7
: 7 |
|
van
|
0.99*(64*(0.5*z)^7-112*(0.5*z)^5+56*(0.5*z)^3-7*(0.5*z)-1)+(0.7818314825-0.3765101982*y- 0.7818314825*x)*(0.7818314824-0.8460107361*y-0.1930964297*x)*(0.7818314825-0.6784479340*y +0.5410441731*x)*(0.7818314825+0.8677674789*x)*(0.7818314824+0.6784479339*y +0.541044172*x)*(0.7818314824+0.8460107358*y-0.193096429*x)*(0.7818314821+0.3765101990*y -0.781831483*x) = 0
x^2+y^2+z^2<=36 |
-6
: 6 |
-6
: 6 |
-6
: 6 |
|
Breske
|
(2*x^7-42*x^5*y^2+70*x^3*y^4-14*x*y^6-14*x^6+70*x^4*y^2+70*x^2*y^4-14*y^6+28*x^5+56*x^3*y^2
+28*x*y^4-84*x^2*y^2+28*y^4-42*x^3-42*x*y^2+14*x^2-14*y^2+14*x)+0.5*(64*z^7-
x^2+y^2+z^2<=25 |
-5
: 5 |
-5
: 5 |
-5
: 5 |
|
Chmutov
|
x^8+y^8+z^8-2*x^6-2*y^6-2*z^6+1.25*x^4+1.25*y^4+1.25*z^4-0.25*x^2-0.25*y^2 -0.25*z^2+0.03125 = 0 |
-1
: 1 |
-1
: 1 |
-1
: 1 |
|
Endraß
|
s=√2 (-1/4*(1-s)*(x^2+y^2)^2+(x^2+y^2)*((1-1/s)*z^2+1/8*(2-7*s))-z^4+(0.5+s)*z^2-1/16*(1-12*s))^2-(x-1)*(s/2*x+s/2*y-1)*(y-1)*(-s/2*x+s/2*y-1)*(-x-1)*(-s/2*x-s/2*y-1)*(-y-1)*(s/2*x-s/2*y-1) = 0
x^2+y^2+z^2<=25
Variante 2: s= - √2 |
-5
: 5 |
-5
: 5 |
-5
: 5 |
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Sarti Octic
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3584*z^4+256*z^8+1792*z^4*x^4+10752*z^2*x^4+1792*x^4+256*x^8+256+1792*z^4*y^4 +10752*z^2*y^4+1792*y^4+256*y^8+10752*z^4*x^2*y^2-21504*z^2*x^2*y^2+10752*x^2*y^2 +3584*x^4*y^4+192(-1-12*x^4*y^2*z^2-24*x^2*y^2*z^2-12*x^2*y^2-12*x^2*z^2-12*y^2*z^2
-12*x^4*y^2-12*x^4*z^2-12*x^2*y^4-12*x^2*z^4-12*y^4*z^2-12*y^2*z^4-4*x^6*y^2
x^2+y^2+z^2<=25 |
-7
: 7 |
-7
: 7 |
-7
: 7 |
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Sarti Octic
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x^8+y^8+z^8+1+14(x^4*y^4+x^4*z^4+x^4+y^4*z^4+y^4+z^4)+168*x^2*y^2*z^2 -9/16*(x^2+y^2+z^2+1)^4 = 0 |
-7
: 7 |
-7
: 7 |
-7
: 7 |
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Breske
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x^9-36*x^7*y^2+126*x^5*y^4-84*x^3*y^6+9*x*y^8+64*z^9-9*x^8+126*x^6*y^2-126*x^2*y^6 +9*y^8+27*x^7- 27*x^5*y^2-135*x^3*y^4-81*x*y^6-144*z^7-21*x^6-225*x^4*y^2+45*x^2*y^4 -39*y^6-36*x^5+72*x^3*y^2+108*x*y^4+108*z^5+54*x^4+108*x^2*y^2+54*y^4+9*x^3 -27*x*y^2-30*z^3-27*x^2-27*y^2+2.25*z+4.25 = 0
x^2+y^2+z^2<=16 |
-4
: 4 |
-4
: 4 |
-4
: 4 |
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Escudero
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wie Escudero Sextic, aber mit
d=9 J(x,y)=lambda(d)*L(x,y,1)*L(x,y,7)*L(x,y,13)*L(x,y,19)*L(x,y,25)*L(x,y,31)*L(x,y,37)*L(x,y,43)*L(x,y,49)
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-5
: 5 |
-5
: 5 |
-5
: 5 |
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Barth Decic 
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p= (√5+1)/2
8(x^2-p^4*y^2)(y^2- p^4*z^2)*(z^2-p^4*x^2)*(x^4+y^4+z^4-2*x^2*y^2-2*x^2*z^2-2*y^2*z^2)+(3+5p)(x^2+y^2+z^2-a)^2*(x^2+y^2+z^2-(2-p))^2
x^2+y^2+z^2<=9 |
-3
: 3 |
-3
: 3 |
-3
: 3 |
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Sarti
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-22* (1+x^2+y^2+z^2)^6 +243*(48* (x^2*y^2+z^2) * (y^2+x^2*z^2) * (x^2+y^2*z^2) -352*x^2*y^2*z^2*(x^2+y^2+z^2 +x^2*y^2 +x^2*z^2 +y^2*z^2) +336*x^2*y^2*z^2* x^2*y^2 +x^2*z^2 +y^2*z^2) * (1+x^4+y^4+z^4)^2 -14*(1+x^4+y^4+z^4) * ((z^2+x^2*y^2) *
(y^2+x^2*z^2) +(z^2+x^2*y^2) * (x^2+y^2*z^2)+ (x^2+y^2*z^2) * (y^2+x^2*z^2)) -6* (1+x^4+y^4+z^4)*((z^2+x^2*y^2)^2 + (y^2+x^2*z^2)^2+(x^2+y^2*z^2)^2) +33*sqrt(5) *
((x^2*y^2+z^2)^2 * (y^2+x^2*z^2) - (y^2+x^2*z^2)^2 * (x^2*y^2+z^2) - (x^2*y^2+z^2)^2 * (x^2+y^2*z^2) + (y^2+x^2*z^2)^2 * (x^2+y^2*z^2) + (x^2+y^2*z^2)^2 * (x^2*y^2+z^2) -
(x^2+y^2*z^2)^2 * (y^2+x^2*z^2)) +
x^2+y^2+z^2<=25 |
-5
: 5 |
-5
: 5 |
-5
: 5 |
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Escudero
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wie Escudero Sextic, aber mit
d=12
J(x,y)=lambda(d)*L(x,y,1)*L(x,y,7)*L(x,y,13)*L(x,y,19)*L(x,y,25)*L(x,y,31)*L(x,y,37)*L(x,y,43)*L(x,y,49) |
-5
: 5 |
-5
: 5 |
-5
: 5 |
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Escudero
(1162
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wie Escudero Sextic, aber mit
d=15
J(x,y)=lambda(d)*L(x,y,1)*L(x,y,7)*L(x,y,13)*L(x,y,19)*L(x,y,25)*L(x,y,31)*L(x,y,37)*L(x,y,43)*L(x,y,49) |
-5
: 5 |
-5
: 5 |
-5
: 5 |
Quellen
- Oliver Labs, Hypersurfaces with Many Singularities, Dissertation (PDF)
- Alessandra Sarti, Pencils of Symmetry in P³, Dissertation (PDF)
- S. Breske, O. Labs, D. van Straten, Real Line Arrangements and Surfaces with many Real Nodes,
https://arxiv.org/pdf/math/0507234.pdf - S. Holzer, O. Labs (2006) Illustrating the classification of real cubic surfaces, Algebraic Geometry and Geometric Modeling (pp.119-134), DOI:10.1007/978-3-540-33275-6_8
- J. G. Escudero, A construction of algebraic surfaces with many real nodes,
https://arxiv.org/pdf/1107.3401.pdf - J. G. Escudero (2025) Some lower bounds for the maximal number of A-singularities in algebraic surfaces, https://doi.org/10.48550/arXiv.2510.14539
- O. Labs, World Record Surfaces,
https://imaginary.org/sites/default/files/imaginary-worldrecordsurfaces-oliver-labs.pdf - https://imaginary.org/gallery/oliver-labs
- https://imaginary.org/program/surfer