Basins of Attraction für  z^4 - 1 = 0

z4 – 1 = (z² - 1) (z² + 1) = (z - 1) (z + 1) (z - i) (z + i) = 0

Nullstellen von f(z) = z^4-1

Für die folgenden Galerien wurde, so nicht anders angegeben, als Ausgangsbereich B = [-2, 2] × [-2, 2] ⊆ ℂ verwendet und dann in kleine Teilbereiche von B hinein gezoomt. Weitere Informationen zum jeweiligen Bild erhalten Sie durch Anklicken des Bildes (s. auch folgender Navigationstipp). Um Ladezeiten kurz zu halten, habe ich die Größe der Fraktale auf 1024 x 1024 Pixel beschränkt.

Eine größere, detailreichere Ansicht lohnt sich. Klicken Sie dazu auf ein Bild in der Galerie (evtl. für eine weitere Vergrößerung auf die dann erscheinende Bildschirmlupe ). Innerhalb der Galerie  bewegen Sie sich mit den Pfeiltasten   am linken / rechten Bildschirmrand.

 

Newton-Verfahren

 

Halley-Verfahren


 

Schröder-Verfahren

 

Basto-Verfahren


 

Whittaker I -Verfahren

 

Whittaker II -Verfahren


 

Bahgat-Verfahren

 

Hosseini-Verfahren


 

Chun-Kim I -Verfahren

 

Sekanten-Verfahren


 

Kanwar-Sharma-Verfahren

 

Ridders-Verfahren


 

Saaed-Aziz-Verfahren

 

Thukral-Verfahren

 

Tiruneh-Verfahren


 

Ostrowski-Verfahren

 

Kou-Li-Wang-Verfahren

 

Chun I -Verfahren


 

King-Verfahren mit verschiedenen Werten für β,  B = [-1, 1] × [-1, 1]

 

Chun III -Verfahren

 

Feng-Verfahren


 

Contra Harmonic Newton-Verfahren

 

Kung-Traub-Verfahren


 

Fang-Ni-Cheng-Verfahren

 

Rafiq-Rafiullah-Verfahren


 

Chun-Kim II -Verfahren

 

Sharma-Bahl-Verfahren


 

Chun-Lee-Neta-Verfahren

 

Steffensen-Verfahren


 

Jarratt-Verfahren

 

Fang-Sun-He-Verfahren


 

Ghanbari-Verfahren

 

modifizierte Verfahren


Konvergenzgeschwindigkeit für  z^4 - 1 = 0

Für einen Bereich B = [-5, 5] × [-5, 5] ⊆ ℂ  (so nicht anders angegeben) zeigen die Bilder in folgender Galerie die Konvergenzgeschwindigkeit verschiedener Verfahren an Hand einer Regenbogen-Farbpalette mit 256 Farbwerten. Um die gesamte Farbpalette auf den Bereich der für die Konvergenz erforderlichen Iterationsschritte abzubilden und so die Verfahren vergleichen zu können, wurde p_step für alle Verfahren auf den Wert 10 gesetzt (s. unter Algorithmen). Eine hohe Konvergenzgeschwindigkeit entspricht so Rot- bis Gelbtönen, eine niedrige entspricht Blautönen.

Klicken Sie auf ein Bild in der Galerie, um dieses zu vergrößern und den Verfahrensnamen sowie verfahrensspezifische Parameter anzuzeigen. Innerhalb der Galerie  bewegen Sie sich mit den Pfeiltasten   am linken / rechten Bildschirmrand.


Weitere Berechnungen / Experimente

Falls Sie die obigen Resultate nachvollziehen oder weitere Berechnungen / Experimente mit unterschiedlichsten Parametereinstellungen vornehmen möchten, steht hierfür die nachfolgende ZIP-Datei als Download zur Verfügung. Sie enthält einen Shader (CFF-Datei), der mit dem Programm Vision of Chaos für die Funktion auf dieser Seite für ca. 50 Iterationsverfahren die Berechnung der Basins of Attraction sowie der Konvergenzgeschwindigkeit (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen) ermöglicht.

 

Die Datei BFrain.zip, enthält die Palette (MAP-Datei), die auf meinen Webseiten bei der Berechnung und Einfärbung der Konvergenzgeschwindigkeit zugrunde lag (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen).