Basins of Attraction für exp (z) - z = 0

Die komplexe Funktion exp (z) - z (zur Programmierung mit OpenGl SL siehe Komplexe Arithmetik mit OpenGL SL unter Grundlagen und Algorithmen) besitzt unendlich viele Nullstellen der Form

- W_k (-1) mit k ∈ ℤ

Hierbei ist W_k die Lambertsche W-Funktion [1], auch Produktlogarithmus genannt [2].

Bei der Berechnung der Basins of Attraction habe ich mich auf die in der Grafik aufgeführten zehn Nullstellen beschränkt.

Informationen zum jeweiligen Bild und verwendeten Iterationsverfahren erhalten Sie durch Anklicken des Bildes (s. auch folgender Navigationstipp). Um Ladezeiten kurz zu halten, habe ich die Größe der Fraktale auf 1024 x 1024 Pixel beschränkt.

Für den interessierten Leser steht unten auf der Seite im Download-Bereich eine Datei zur Anwendung mit der Software VOC zum eigenen Experimentieren zur Verfügung.

Klicken Sie bei den folgenden Galerien auf ein Bild für eine größere, detailreichere Ansicht sowie Informationen zum verwendeten Verfahren. Klicken Sie auf die Bildschirmlupe für eine weitere Vergrößerung; mit den Pfeiltasten ← → am linken / rechten Bildschirmrand bewegen Sie sich innerhalb der Galerie.

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Newton-Verfahren

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Halley-Verfahren

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Schröder-Verfahren, Zoom

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Basto-Verfahren

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Whittaker I-Verfahren, Zoom

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Whittaker II-Verfahren, Zoom

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Ridders-Verfahren, neg. square root, B=[-10, 10]x[-10, 10]

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Ridders-Verfahren, neg. square root, Zoom

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Ridders-Verfahren, pos. square root, B=[-22, 30]x[-26, 26]

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Ridders-Verfahren, pos. square root, Zoom a

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Ridders-Verfahren, pos. square root, Zoom b

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Ridders-Verfahren, pos. square root, Zoom c

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Sekanten-Verfahren, z<sub>1</sub>=(-0.5, 0), Zoom

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Sekanten-Verfahren, z<sub>1</sub>=(1.5, 0)

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Sekanten-Verfahren, z<sub>1</sub>=(2.5, 0)

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Saeed-Aziz-IV Verfahren, neg. Wurzel

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Saeed-Aziz-IV Verfahren, neg. Wurzel, Zoom a

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Saeed-Aziz IV-Verfahren, neg. Wurzel, Zoom b

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Saeed-Aziz IV-Verfahren, neg. Wurzel, Zoom c

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Kanwar-Sharma-Verfahren, B=[-61, 19]x[-40, 40], z1=(0, 0), alpha=20

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Ostrowski-Verfahren

Basins of Attraction exp(z)-z=0 King-Verfahren, beta=-2.3, Zoom

Basins of Attraction exp(z)-z=0 King-Verfahren, beta=0.2, Zoom

Basins of Attraction exp(z)-z=0 King-Verfahren, beta=3, Zoom

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Chun II-Verfahren

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Chun III-Verfahren

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Feng-Verfahren, Zoom

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Contra-Harmonic Newton-Verfahren

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Fang-Ni-Chen-Verfahren, Zoom

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Chun-Kim II-Verfahren, Zoom

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Chun-Lee-Neta-Verfahren

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Jarratt-Verfahren, Zoom

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Steffensen-Verfahren, b eta=-0.005, Zoom

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Laguerre-Verfahren, n=2, B=[-30, 30]x[-30, 30]

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Laguerre-Verfahren, n=2, Zoom

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Chun-Ham-Verfahren, B=[-47,15]x[-32, 32]

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Chun-Ham-Verfahren, Zoom a

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Chun-Ham-Verfahren, Zoom b

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Jain-Verfahren, B=[-50, 20]x[-35, 35]

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Jain-Verfahren, B=[-7, 11]x[-9, 9]

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Tiruneh-Verfahren, z1=(30, 0), B=[-168, 49]x[-110, 107]

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Tiruneh-Verfahren, z1=(30, 0), Zoom a

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Tiruneh-Verfahren, z1=(30, 0), Zoom b

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Tiruneh-Verfahren, z1=(30, 0), Zoom c

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Tiruneh-Verfahren, z1=(30, 0), Zoom d

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Weerakoon-Fernando-Verfahren, B=[-30,30]x[-30, 30]

Basins of Attraction exp(z)-z=0 Kou-Li-Verfahren, B=[-6, 61]x[25, 37]

Basins of Attraction exp(z)-z=0 ArdeleanVerfahren, neg. Wurzel, B=[-2, 12]x[-7, 7]

Basins of Attraction exp(z)-z=0 ArdeleanVerfahren, neg. Wurzel, Zoom a

Basins of Attraction exp(z)-z=0 ArdeleanVerfahren, neg. Wurzel, Zoom b

Quellenverweise

[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion

[2] https://reference.wolfram.com/language/ref/ProductLog.html

Weitere Berechnungen / Experimente

Falls Sie die obigen Resultate nachvollziehen oder weitere Berechnungen / Experimente mit unterschiedlichsten Parametereinstellungen vornehmen möchten, steht hierfür die nachfolgende ZIP-Datei als Download zur Verfügung. Sie enthält einen Shader (CFF-Datei), der mit dem Programm Vision of Chaos für die Funktion auf dieser Seite für ca. 50 Iterationsverfahren die Berechnung der Basins of Attraction sowie der Konvergenzgeschwindigkeit (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen) ermöglicht.

Die Datei BFrain.zip, enthält die Palette (MAP-Datei), die auf meinen Webseiten bei der Berechnung und Einfärbung der Konvergenzgeschwindigkeit zugrunde lag (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen).

Rootfind exp(z)-z=0 BFrain.zip