Nullstellenbestimmung - Verfahrensvergleich
Konvergenzordnung und Effizienz
In der folgenden Grafik sind die auf meiner Webseite aufgeführten Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen einer Funktion f bezüglich ihrer Konvergenzordnung q und ihrer Effizienz CE positioniert.
Darüber hinaus zeigt eine entsprechende Einfärbung an, ob es sich um ein ableitungsfreies Verfahren (●) handelt oder ob die erste Ableitung (●) bzw. die erste und zweite Ableitung (●) der Funktion f verwendet werden.
Hinweis:
Um die CE-Werte in der obigen Grafik besser vergleichen zu können, wurden die Werte gerundet dargestellt, die sich ergeben gemäß:
1.260 ≈ 21/3 , 1.414 ≈ 21/2 , 1.431 ≈ 61/5 , 1.442 ≈ 31/3
, 1.495 ≈ 51/4 , 1.495 ≈ 51/4 ,1.554 ≈ (1+√2)1/2 , 1.565 ≈ 61/4 , 1.587 ≈ 41/3 , 1.618 ≈ Φ
.
Numerische Beispiele
Die folgenden Tabellen zeigen für ausgewählte Funktionen f mit einer einfachen Nullstelle ξ für die oben aufgeführten Verfahren und zu einem gewählten Startwert x0 jeweils an:
N : Anzahl der benötigten Iterationsschritte
xN – xN-1 : Differenz zwischen N-tem Schritt und
Vorgänger
f (xN) : Funktionswert im N-ten
Schritt
COC (xN)
:
Computational Order of
Convergence im N-ten Schritt
CE: Effizienz
Als Abbruchkriterium der Iteration wurde für alle Verfahren | xi – xi-1 | ≤ 10-15 gewählt.
