Shader-B für Polynom mit vorgegebenen Nullstellen

Einen anderen Weg zur Darstellung der Basins of Attraction und der Konvergenzgeschwindigkeit beschreitet der Shader-B, den ich für das Programm VOC programmiert habe (s. unten im Download-Bereich). Hierbei liegt das Polynom in der Form 

vor, d.h. die Nullstellen ζi werden vorgegeben, so dass ohne weitere Berechnungen und Eingaben die Basins of Attraction dargestellt werden können. Der maximale Grad n des Polynoms beträgt 9.

 

Für das Polynom pn (z) und die Ableitungen pn' (z) und pn'' (z) gelten für n 2 folgende Rekursionen:

 

pn (z)  = pn-1 (z) (z - 𝜁n)                           p2 (z)  = (z - 𝜁2) (z - 𝜁1)

pn' (z) = pn-1' (z) (z - 𝜁n) + pn-1 (z)           p2' (z) = 2 z - (𝜁1 + 𝜁2 )  

pn'' (z) = pn-1'' (z) (z - 𝜁n) + 2 pn-1' (z)       p2'' (z) = 2

 

Da OpenGL keine Rekursion unterstützt, bieten sich für den Shader-B zwei Lösungen an; hierbei wurden jeweils die Nullstellen ζ1, …, ζ9 in A, ..., I umbenannt .

 

• Shader-B1

Es werden die aufgelösten Aufrufe verwendet:

mit pn (z)  = Fn (z),  pn' (z) = Dn (z) und pn'' (z) = DDn (z).


• Shader-B2

Die Ableitungen wurden explizit ausgerechnet:

p(z)=(z-A)(z-B)...(z-I), p'(z) und p''(z)

Beide Shader bieten die Möglichkeit der manuellen Vorgabe sowie der zufälligen Berechnung der Nullstellen ζ1, …, ζ9  bzw.  A, ..., I. Somit eignet sich der Shader insbesondere auch für die "Fraktal-Jäger", die auf der Suche nach interessanten Fraktalen mit minimalen Eingaben sind.

 

Gesteuert wird die Art der Vorgabe mit der Variablen random_method:  

  • random_method = 0 :  manuelle Vorgabe der Nullstellen

Hier ein Beispiel (Newton-Verfahren) für ein Polynom 5. Grades mit fünf frei gewählten Nullstellen (s. folgende Abbildung):

 


  • random_method = 1 :  die Koeffizienten werden mit einem Pseudo Random Number Generator
                                     
      (kurz: PRNG, s. auch hier)  erzeugt.

Die generierten Zufallszahlen randj liegen im Bereich [-1, 1] und werden mit den Faktoren Ri und Ci auf den jeweils gewünschten Bereich der Nullstellen ai expandiert: ζi = (randjRi ,  randj+1 • Ci ).

Die obige Einstellung erzeugt ein zufälliges Polynom 5. Grades mit zwei reellen und drei komplexen Nullstellen (s. Beispiele unten).

 

Dazu kann für den Startwert Seed  des PRNGs eine ganze Zahl im Bereich 0 ... 10 000 000 eingegeben werden, aus der der PRNG dann die pseudo-zufälligen Koeffizienten a0 bis a8 berechnet. Hierzu kann in der Eingabemaske von VOC der Parameter Bailout genutzt werden:

 

 

 

Die eingegebene Zahl (z.B. 47182) erzeugt somit ein Unikat eines Polynoms - es ist der Zahl fest zugeordnet und kann dann für die Untersuchung mit verschiedenen Iterationsverfahren und/oder Einfärbungen genutzt werden, ohne dass beim Klicken auf den OK-Button (Start des Shaders) neue Koeffizienten berechnet werden, wie dies mit random_method = 2 der Fall ist.

 

Hier dazu einige Beispiele (Halley-Verfahren) mit den obigen Vorgaben für Ri und Ci :


  • random_method = 2 :  zufällige Erzeugung der Nullstellen bei jedem (!) Shader-Start
                                        mittels Klick auf den OK-Button; 
                                        als Startwert für den PRNG wird hier eine von VOC gelieferte Zufallszahl
                                        verwendet.

Die folgenden Animationen zeigen Sequenzen der Basins of Attraction zufällig erzeugter Polynome 5. Grades (links: Newton-, Mitte: Halley-, rechts: Chun III -Verfahren).

 

Klicken Sie auf ein Bild in der Galerie für eine vergrößerte Darstellung und um sich die Sequenz für ein einzelnes Verfahren besser anschauen zu können.

 


Download

Für Ihre eigenen Berechnungen / Experimente mit unterschiedlichsten Parametereinstellungen steht hierzu die nachfolgende Datei Rootfind Shader-B.zip als Download zur Verfügung. Sie enthält den oben beschriebenen Shader-B (CFF-Datei) für das Programm Vision of Chaos, der für ca. 50 Iterationsverfahren die Berechnung der Basins of Attraction sowie der Konvergenzgeschwindigkeit für eine Funktion f : D   mit  D ⊆ ℂ ermöglicht.

 

Die Datei BFrain.zip, enthält die Palette (MAP-DEatei), die auf meinen Webseiten bei der Berechnung und Einfärbung der Konvergenzgeschwindigkeit zugrunde lag (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen) .

Rootfind Shader-B.zip          BFrain.zip