Trassierung

Der Begriff Trassierung beschreibt das Entwerfen und Festlegen der Linienführung ("Trasse") eines Verkehrsweges (Strassen, Bahnstrecken) in Lage, Höhe und Querschnitt.

Dazu werden mit Hilfe verschiedener Entwurfsmethoden Trassierungselemente zu einer räumlichen Linie zusammengefügt. Diese muss nicht nur fahrdynamischen und sicherheitsbezogenen Gesichtspunkten genügen, sondern sich auch gut in die Landschaft einfügen und möglichst geringe Massenbewegungen oder Bauwerke, wie z.B. Brücken oder Tunnel erfordern. Wesentlichen Einfluss auf die Trassierung nehmen auch sogenannte Zwangspunkte (z.B. Gebäude), die eine Anpassung der räumlichen Linie notwendig machen. Darüber hinaus gibt es noch weitere Aspekte, wie z.B. die Umwelt, Eigentumsverhältnisse, politische Gebietsgrenzen, finanzielle Mittel, fahrpsychologische Einflüsse, ästhetische Gesichtspunkte, etc. zu beachten.

Auch mit modernster Computertechnik ist die Trassierung eine komplexe Aufgabe für den Ingenieur und verlangt diesem umfachreiches Spezialwissen und Erfahrung ab.

Auch im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II wird die "Trassierung" oftmals im Kontext Differential-rechnung behandelt, jedoch stark vereinfacht und eingeschränkt auf zweidimensionale Anwendungen (s. Kritische Anmerkungen am Ende dieser Seite).

Trivialerweise gilt, dass die Übergänge von g nach f an der Stelle x₁ und von f  nach h an der Stelle x₂ versatzfrei sein müssen.

Ebenfalls direkt einsehbar im Sinne eines Straßen- oder Bahngleiseverlaufs ist die Forderung, dass diese Übergänge auch knickfrei sein müssen, d.h. g und f  bzw. f und h besitzen an der Stelle x₁ bzw. x₂ jeweils die gleiche Steigung. Eine einfache Gerade als Verbindungsweg f scheidet somit in der Regel aus (s.u.). In eine mathematische Beschreibung umgesetzt ergibt sich demnach:

      Forderung        Bedingungen

• versatzfrei:     g (x₁)  = f (x₁)     ,   f (x₂)  = h (x₂)

• knickfrei:         g (x₁)  = f (x₁)     ,   f (x₂)  = h (x₂)
                           g ' (x₁)  = f ' (x₁)  ,   f ' (x₂)  = h' (x₂) 

Soll nun ein knickfreier (und damit auch versatzfreier) Übergang mittels eines Polynoms f erzeugt werden, so kann dieses Polynom wegen der vier obigen Bedigungen maximal vom Grad drei sein, da dann vier unbekannte Koeffizienten a₃, a₂, a₁  und a₀ zu bestimmen sind.

Mit

f (x)   =    a₃ x³ +   a₂ x² + a₁ x + a₀

f ' (x) = 3 a₃ x² + 2 a₂ x  + a₁

und x₁, x₂ ergibt sich für a₃, a₂, a₁  und a₀ somit folgendes Gleichungssystem:

das dann mit geeigneten Methoden zu lösen ist.

Neben kubischen Funktionen können für eine knickfreie Verbindung bei den Polynomen f  auch Geraden (dies nur, falls die Tangenten in x₁ und x₂  identisch sind, s. linkes Bild in folgender Galerie) oder Parabeln auftreten:

Die oben berechneten Bahnen (z.B. Straßenverläufe) mit knickfreien Teilstücken sehen auf den ersten Blick "vernünftig" aus. Sollen diese jedoch mit höheren Geschwindigkeiten befahren werden, sieht das Ganze anders aus. Dazu betrachte man folgende Animation, die jede(r) Autofahrer(in) direkt nachvollziehen kann:

Ein Fahrer fährt mit seinem Auto mit hoher Geschwindigkeit auf einem Kreisbogen (Viertelkreis). Da dessen Krümmung k  konstant ist, kann der Fahrer bei optimaler Fahrweise das Steuerrad in einer fixen Position halten. Durch die Zentrifugalkraft (roter Vektor in der Animation) wird der Fahrer (blauer Punkt) nach außen gedrückt. Am Ende des Viertelkreises schließt sich plötzlich eine Gerade mit der Krümmung Null an. Der Fahrer muss nun schlagartig das Steuerrad in Geradeaus-Stellung bringen. Selbst wenn trotz der schlagartigen Lenkbewegung das Auto in der Spur bleibt, so wird der Fahrer ruckartig wieder in seine normale Sitzposition (oder darüber hinaus) bewegt - er (und das Auto) erfährt einen Ruck.

Dies ist natürlich bei der Trassierung nicht erwünscht! Vielmehr müssen die Übergänge an den Stellen x₁ und x₂ nicht nur knickfrei, sondern auch krümmungsruckfrei sein. Daher muss gelten, dass die Krümmung der Funktionen g und f an der Stelle x₁ und ebenso die Krümmung der Funktionen f und h an der Stelle x₂ jeweils gleich sind. Für das Polynom f als Verbindungsstück muss daher gelten:

• krümmungsruckfrei:  g (x₁)  = f (x₁)      ,    f (x₂)  = h (x₂)
                                       g ' (x₁)  = f ' (x₁)   ,   f ' (x₂)  = h' (x₂)
                                       g '' (x₁)  = f '' (x₁)  ,   f '' (x₂)  = h'' (x₂)

Für einen krümmungsruckfreien (und damit auch versatz- und knickfreien) Übergang mittels eines Polynoms f  kann dieses wegen obiger sechs Bedigungen maximal vom Grad fünf sein, da dann sechs unbekannte Koeffizienten a₅, a₄, a₃, a₂, a₁ und a₀ zu bestimmen sind.

Mit

f (x)   =       a₅ x⁵ +      a₄ x⁴ +   a₃ x³ +     a₂ x² + a₁ x + a₀

f ' (x) =    5 a₅ x⁴ +   4 a₄ x³ + 3 a₃ x² + 2 a₂ x   + a₁

f '' (x) = 20 a₅ x³ + 12 a₄ x² + 6 a₃ x   + 2 a₂

und x₁, x₂ ergibt sich für a₅, a₄, a₃, a₂, a₁ und a₀ folgendes Gleichungssystem:

Angewandt auf das obige Beispiel mit kubischem, knickfreiem Verbindungsstück ergibt sich mit g '' (x) = 0.4 und h '' (x) = 0 das Gleichungssystem

und somit die Funktion

Die folgende Grafik zeigt die knickfreie Variante mit der kubischen Funktion f  und die krümmungsruckfreie Variante mit dem Polynom fünften Grades f_o zum Vergleich. Zusätzlich wurde dort auch der Krümmungsverlauf k (x) des Gesamtweges (gestrichelte Linie) eingezeichnet.

Zum eigenen "Experimentieren" steht unten im Download-Bereich eine EXCEL-Datei bereit, mit der auch die obigen Trassierungen und Grafiken erstellt wurden.

Die "Straße" sowie das Fahrzeug wurden mittels eines Rohrs, das die Funktionen ummantelt und bei dem die z-Komponente zu Null gesetzt wurde, erzeugt (s. bei Funktionsgraph als Rohr/Röhre).

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Lösung:

Es ist g ' (x) = - 0.5,  g '' (x) = 0.

Der Brückenabschnitt ist geradlinig, die den Brückenabschnitt bildende lineare Funktion h ist jedoch unbekannt. Da aber h im Punkt Q (4|2) senkrecht zur Funktion L (linkes Flussufer) verläuft, mithin eine Normale zur Tangente t an L in Q bildet (s. folgende linke Grafik), gilt dort für h

Mit L' (x) = -0.75 x² + 8.5 x - 24  und L' (4) = -2  ergibt sich h ' (x) = 0.5. Durch Einsetzen der Koordinaten von Q in die Punkt-Steigungs-Form einer Geraden ergibt sich  h (x) = 0.5 x,  h (3.5) = 1.75 sowie h '' (x) = 0.

Somit ergibt sich für das krümmungsruckfreie Anschlussstück das folgende Gleichungssystem nebst Lösung:

Die Lösung zusammen mit der Tangente t und dem Krümmungsverlauf k zeigt die folgende linke Grafik, eine Animation für das Befahren der Wegstrecke ist in der rechten Grafik zu sehen.

Bezüglich des Begriffs "Krümmung" sei an dieser Stelle ein kleines Intermezzo eingeschoben. So passierte es hin und wieder in meinem Unterricht zur Themenreihe Differentialrechnung, dass nach der Einführung der Ableitungen einer Funktion und deren Bedeutungen angesichts der Funktion f (x) = x² eine "ausgeschlafene" Schülerin fragte, wie es denn sein könne, "dass mit der zweiten Ableitung für die Krümmung überall 2 rauskommt, obwohl die Parabel für große x-Werte fast gerade und im Bereich des Scheitelpunkts stark gekrümmt ist"…

Oups – ein Fall "kognitiver Dissonanz" und - insbesondere wegen des bis dato fehlenden Unterrichtsstoffs (arctan-Funktion) und mathematischer Werkzeuge (Kettenregel) für die Herleitung des Begriffs "Krümmung eines Funktionsgraphen" - eine echte Herausforderung für den Mathelehrer! Zumindest kann man in solch einem Moment folgendes klarstellen:

• Eine Funktion ist bekanntlich eine Zuordnung, wobei jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y einer Wertemenge W zugeordnet wird:
  
• Der Funktionsgraph ist eine grafische Interpretation / Modell des (abstrakten) mathematischen Objekts Funktion, indem die Wertepaare (x | y) in die x/y-Ebene (kartesisches Produkt aus Definitionsmenge D und Wertemenge W) eingetragen werden. Es ergibt sich eine geometrische Figur (Kurve), wie z.B. eine Gerade für die lineare Funktion y = f(x) = a • x + b oder eine Parabel für die quadratische Funktion y = f (x) = a • x² + b • x + c (a ≠ 0).

• Die erste Ableitung in einem Punkt (x₀ | y₀) gibt die Steigung der Funktion im Punkt (x₀ | y₀) an. Dies entspricht beim Funktionsgraph der Steigung der Tangente im Punkt (x₀ | y₀).

• Die zweite Ableitung f '' in einem Punkt (x₀ | y₀) gibt die Krümmung der Funktion f im Punkt (x₀ | y₀) an. Ist ihr Wert dort positiv, so ist die Funktion "linksgekrümmt", ist er negativ, so ist die Funktion dort "rechtsgekrümmt". Tatsächlich (und wie zu erwarten war) zeigt das geometrische Objekt Funktionsgraph (Kurve) das gleiche Krümmungsverhalten wie die Funktion, wie z.B. eine Linkskrümmung bei der Normalparabel. Die Krümmung eines Funktionsgraphen im Punkt (x₀ | y₀) ist ein Maß für die Richtungsänderung der Tangente in diesem Punkt.

Ist die Kurve ein Funktionsgraph einer Funktion f, so ergibt sich für die Krümmung zu

(Anmerkung: Ich verzichte hier auf eine Herleitung; der interessierte Leser findet eine solche z.B. bei [1]).

Es lassen sich somit folgende Aussagen treffen:

• Die Krümmung ist vorzeichenbehaftet durch das Vorzeichen von f '' (x); ist f '' (x₀) > 0, so ist die Kurve an x₀ linksgekrümmt, ist f '' (x₀) < 0, so ist die Kurve an x₀ rechtsgekrümmt.
• Ist f '' (x₀) = 0, wie z.B. in einem Wendepunkt, so ist κ (x₀) = 0.
• Ist f ' (x₀) = 0, liegt also an der betrachteten Stelle eine waagrechte Tangente vor, wie z.B. an einem Extremwert, so gilt κ (x₀) = f '' (x₀).

   Übrigens ...

  Eine konstante Krümmung κ besitzen nur die Gerade (κ = 0) sowie der Kreis (Radius r : κ = 1 / r).

Die folgende Grafik zeigt für das Beispiel der Funktion f (x) = x² den Funktionsgraph (Normalparabel), ihre zweite Ableitung f '' (x) = 2 sowie den Graph der Krümmungsfunktion κ (x), die jedem x-Wert die Krümmung des Funktionsgraphen von f zuordnet und natürlich genau die Beobachtung der oben zitierten Schülerin wiedergibt.

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Eng verknüpft mit dem Begriff Krümmung einer ebenen Kurve im Punkt (x₀ | y₀) ist der Krümmungskreis (auch Schmiegekreis genannt) zum Punkt (x₀ | y₀), der die Kurve in diesem Punkt am besten annähert. Den Mittelpunkt des Krümmungskreises nennt man Krümmungsmittelpunkt. Sein Radius, der Krümmungsradius, ist der Betrag des Kehrwerts der Krümmung κ der Kurve im Punkt (x₀ | y₀). Seine Tangente in diesem Punkt stimmt mit der Tangente der Kurve überein.

Da die Krümmung einer Kurve im Allgemeinen örtlich variiert, schmiegt sich der Krümmungskreis meist nur in einer infinitesimal kleinen Umgebung der vorgegebenen Kurve an. Er verläuft auf der einen Seite des Berührungspunktes innerhalb und auf der anderen Seite außerhalb der Kurve, er schneidet also die Kurve in einem gewissen Abstand vom Punkt (x₀ | y₀). Nur wenn die Krümmung der Kurve bei (x₀ | y₀) ein Extremum hat, schmiegt sich der Kreis auf einer längeren Strecke der Kurve an diese an, wie man es auch in den folgenden Animationen, die Krümmungskreise beim Überfahren der Funktionsgraphen verschiedener Funktionen zeigen, beobachten kann. Pro Grafik ist dort folgendes dargestellt:

  Übrigens ...

  In einem Wendepunkt des Funktionsgraphens von f (dort ist f '' (x) = 0) ist der Krümmungsradius r = ∞.

Anhand der typischen Trassierungsaufgaben im Schulunterricht (s.o.) könnten die Schüler(innen) den Eindruck gewinnen, dass sie mit einem Polynoms 3., 4. oder 5. Grades eine ideale Trassierung berechnet hätten und dass die gesamte Thematik "gar nicht so schwer" sei. Dem ist aber nicht so! Hier sind einige Kritikpunkte angebracht ...

1. Ein erster Kritikpunkt ist die Reduktion einer Straße mit einer gewissen Breite auf eine unendliche dünne Linie (Funktionsgraph). So kann jede(r) Autofahrer(in) bei hinreichender Straßenbreite einen etwas anderen Weg fahren, als ihm die Straßenachse vorschreibt. Im Allgemeinen wird er/sie die Kurven etwas anschneiden, um das plötzliche Einschlagen der Lenkräder am Bogenanfang zeitlich zu verlängern und somit die auftretenden Fliehkraftwechsel (Seitenruck) zu vermindern.

Weiterhin wünscht sich jede(r) Autofahrer(in) einen Straßenverlauf mit konstanten Krümmungen – also Geraden und Kreisbögen – um Lenkbewegungen zu minimieren. Tatsächlich bestanden die in den 1930er und 1940er gebauten Autobahnen in Deutschland ausschließlich aus Geraden und Kreisbögen.

Die Eisenbahnen, welche gegen Ende des 19. Jahrhunderts schon große Fahrgeschwindigkeiten erreichten, begannen schon damals ihre Kurven zu überhöhen und zwischen Gerade und Kreisbogen eine Übergangskurve in Form eines Polynoms 3. Grades ("kubische Parabel") einzubauen. In den 30er Jahren des letzten Jahrhunderts, als  mit der Verbesserung der Motorfahrzeuge die Geschwindigkeiten auf den Landstraßen immer größer wurden, hielten diese Übergangskurven allmählich auch Einzug in den Straßenverkehr. Der Fahrer wurde durch die "kubische Parabel" in die eigentliche Kreiskurve übergeführt, hatte dadurch ausreichend Zeit, das Steuerrad entsprechend dem Kurvenradius einzuschlagen, und der Aufstieg vom dachförmigen Straßenprofil zur einseitigen Kurvenüberhöhung ließ sich so mühelos bewerkstelligen.

Durch theoretische Studien / Untersuchungen sowie Fahrversuche bezüglich der Kurvenausbildung konnte jedoch bald nachgewiesen werden, daß die "kubische Parabel" den fahrtechnischen Eigenschaften der schnellen Straßenfahrzeuge nicht voll gerecht wird. Bei einer idealen Übergangskurve zwischen Gerade und Kreisbogen muß sich die Krümmung proportional zur Weglänge ändern.

Dies führt zu einem Übergangsbogen in Form einer Klothoide. Bei dieser Kurve ist die Krümmung k proportional zur Länge L (identisch mit "Krümmungsradius R ist umgekehrt proportional zur Länge L")
(s. Klothoide):

wobei die positive Konstante A der Klothoidenparamter ist und R der Radius des Krümmungskreises (s.o.) am Endpunkt der Klothoide. Die folgende Animation zeigt die Verbindung einer Geraden (k = 0) und einem Kreisbogen mit Radius R mittels einer Klothoide als Übergangsbogen sowie darunter den Verlauf der Krümmung k  beim Durchfahren dieser Wegstrecke.

Zwar war die Klothoide schon lange bekannt. Da die exakte Berechnung aber nicht in geschlossener Form möglich ist, sondern numerisch erfolgen muss (vgl. Klothoide) und wegen der damals fehlenden Rechnerkapazitäten hielt die Klothoide erst Ende der 1930er Jahre allmählich Einzug in den Straßenbau. Jedoch ist bereits 1995 in den Richtlinien für die Anlage von Landstraßen und Autobahnen, Abschnitt 4.3
(S. 14) ein Übergangsbogen in Form einer Klothoide bereits zwingend vorgegeben [2] :

"Der Übergangsbogen soll

• durch seine allmähliche Krümmungsänderung einen stetigen Linienverlauf gewährleisten und damit eine gleichmäßige Geschwindigkeit sowie eine kontinuierliche Änderung der bei der Kurvenfahrt auftretenden Zentrifugalbeschleunigung ermöglichen,
• als Übergangsstrecke für die Fahrbahnverwindung dienen und
• eine optisch befriedigende Lininenführung bewirken.

Seine Anwendung ist bei allen Straßen erforderlich. Der Übergangsbogen wird als Klothoide ausgebildet."

Damit die zuvor genannten Ziele erreicht werden, schreiben die aktuellen Regelwerke für die Anlage von Landstraßen und Autobahnen [3], [4] für den Klothoidenparameter A folgende Bedingung vor:

Damit ist sicher gestellt, dass sich die Klothoide nicht so stark "eindreht" (A ≤ R, τ ≤ 31,8 gon = 28.62°), andererseits aber der Übergangsbogen optisch erkennbar ist (A ≥ R/3, τ ≥ 3,5 gon = 3.15°).

Weiterhin werden umfangreiche Einsatz- und Zusatzbedingungen (vor allem im Hinblick auf die zulässige Höchstgeschwindigkeit) sowie diverse Ausnahmefälle (z.B. bei topographischen Problemfällen) spezifiziert. Insbesondere werden unter den möglichen Linienführungen die zwei folgenden empfohlen:

  Eine sehr gute und auch für den Laien (wie mich) verständliche Darstellung mit praktischen Beipielen
        für die Trassierung auf Grundlage der RAL [3] und RAA [4] mit Geraden, Kreisbögen und Klothoiden
        findet man bei [5].

Für die Berechnung von Klothoiden siehe auch den Abschnitt  Näherungsformeln für die Anwendung im Straßenbau unter Klothoide.

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Und hier setzt mein zweiter (und wichtigerer) Kritikpunkt an:

2.     Die Schüler(innen) leiten ein Polynom 3. bis 5. Grades als Verbindungsstück her und sind der Meinung, dass sie somit das Trassierungsproblem gelöst hätten. Haben sie aber nicht!
Denn in der Realität sind die zulässigen Trassierungselemente Geraden, Kreisbögen und Klothoiden.

Hier müsste im Unterricht auf die historische Entwicklung mit Blick auf die Linienführung eingegangen werden, d.h. von der Kombination Gerade-Kreisbogen, über Gerade -"kubische Parabel"-Kreisbogen bis hin zu Gerade-Klothoide-Kreisbogen. Es ist aber anzunehmen, dass die Zeit dafür nicht da ist ...

Dennoch sind Trassierungsaufgaben wie die oben dargestellten Bestandteil von Prüfungsaufgaben im Abitur, teils mit "abenteuerlichen" Randbedingungen und anderen Funktionstypen (z.B. Exponential-, Logarithmus-, trigonometrische Funktionen) für den Straßenverlauf. Im Internet findet man dazu zahlreiche Lösungswege und Erklärvideos, ebenso aber auch kritische Betrachtungen aus der Fachrichtung Mathematikdidaktik kommend, wie z.B. bei [6].

Falls Sie als Leser bezüglich meiner Kritik anderer Meinung sind, würde ich mich über einen Kontakt freuen. Dass das Thema Trassierung hier Einzug auf meine Webseite gehalten hat, ist übrigens einer angehenden Mathematiklehrerin zu verdanken, die auf der Suche nach einer Visualisierung auf meine 3D Kugelbahn (eigentlich eine kleine Spielerei) stieß und fragte, ob man eine derartige Visualisierung nicht auch für "Straßen" machen könne. Ja ... kann man ... siehe weiter oben ...

Quellenverweise

[1]   wikipedia.org/wiki/Krümmung

[2]   Bundesministerium für Verkehr, Richtlinien für die Anlage von Straßen RAL (1995),
       https://de.scribd.com/doc/68065554/RAS-L-1995-Horizontal-Alignment

[3]   Bundesministerium für Verkehr, Bau- und Stadtentwicklung, Richtlinien für die Anlage von Landstraßen
       RAL (2012), Kap. 5 Linienführung, S.37

[4]   Bundesministerium für Verkehr, Bau- und Stadtentwicklung, Richtlinien für die Anlage von Autobahnen
       RAA (2008), Kap. 5 Linienführung, S.27-28

[5]   K. Habermehl, R. Weber, Entwurfselemente im Lageplan,
       Lehrveranstaltung Verkehrswesen 2 (Modul 3305),Hochschule Darmstadt

[6]   A. Lambert, U. Peters, Straßen sind keine Splines, Universität des Saarlandes (2005),
       http://dx.doi.org/10.22028/D291-26287

Download

Die folgende EXCEL-Datei berechnet Polynome als Trassierungselemente und stellt diese grafisch dar. Ich habe sie bewusst einfach aufgebaut. So wurde z.B. auf Überprüfungen der manuellen Eingabe sowie auf VBA-Elemente verzichtet. Somit können interessierte Leser(innen) das Tabellenblatt ganz einfach auf ihre Bedürfnisse anpassen.