3D Kissing Spheres

3D Kissing Spheres

In der Geometrie versteht man unter der Kusszahl n (engl. kissing number) die maximale Anzahl sich nicht überschneidender n-dimensionaler Einheitskugeln (d.h. mit Radius 1), die so im (n+1)-dimensionalen Euklidischen Raum angeordnet sind, dass sie alle eine weitere Einheitskugel berühren ("küssen").

 

Im 1-dimensionalen Fall ist die Einheitskugel (in Grafik rot) eine Strecke. Somit kann an die beiden Ende der Strecke jeweils eine weitere Einheitskugel angefügt werden, woraus sich unmittelbar n = 2 ergibt.

 

 

Im 2-dimensionalen Fall ist die Einheitskugel ein Kreis. Man sieht schnell (und es lässt sich leicht beweisen), dass man nur 6 weitere Kreise um einen zentralen Kreis anordnen kann und somit n = 6 gilt.

 

 

Für den 3-dimensionalen Fall vermutete bereits Newton richtig, dass hierfür n = 12 gilt. Diese Vermutung konnte jedoch erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts bewiesen werden.  Bei der symmetrischen Anordnung der Kugeln, liegen die Mittelpunkte der zwölf Außenkugeln auf den Ecken eines Isokaeders. Zwar ist zwischen den Kugeln noch "reichlich" Platz, aber eben nicht mehr für eine Dreizehnte:

Für den 4-dimensionalen Fall konnte erst Anfang des 20. Jahrhunderts bewiesen werden, dass n = 24 gilt. Weitere Details und Angaben für noch höhere Dimensionen findet man bei [1], [2].

 

Die Kissing Spheres oben wurden im Graphing Calculator 3D mit parametrischen Funktionen erzeugt.