Nullstellen komplexer Funktionen
Gegenstand der gesamten Seite ist die numerische Bestimmung der Nullstellen / Einzugsbereiche für komplexe Funktionen f deren Argumente z und Funktionswerte f (z) komplexe Zahlen sind:
f : D → ℂ mit D ⊆ ℂ.
Insbesondere sollen hier komplexe Polynome P betrachtet werden mit
Mit n bezeichnet man den Grad des Polynoms; eine Zahl ζ ϵ ℂ heisst Nullstelle von P, falls P (ζ) = 0.
Es gelten die folgende Aussagen ...
- Nach dem Fundamentalsatz der Algebra [1] gilt, dass jedes komplexe Polynom vom Grad n > 1 mindestens eine komplexe Nullstelle besitzt. Eine Folgerung aus dem Satz ist, das jedes Polynom vom Grad n ≥ 1 genau n Nullstellen ζ1, ζ2, …, ζn ϵ ℂ besitzt; diese müssen nicht voneinander verschieden sein und mit der Linearfaktorzerlegung für komplexe Funktionen gilt: P (z) = an (z - ζ1) (z - ζ2) ... (z - ζn).
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Besitzt das Polynom P hingegen nur reelle Koeffizienten an, an-1, …, a1, a0 ϵ
ℝ, dann tritt mit jeder echt komplexen Nullstelle
ζ von P auch die konjugiert komplexe Zahl
mit gleicher Vielfachheit als Nullstelle von P auf und das Polynom hat die Linearfaktorzerlegung:
Hierbei sind
λ1,
…, λk die reellen Nullstellen von P mit den Vielfachheiten
ν1,
…, vk und 
die echt komplexen Nullstellen von P mit den Vielfachheiten
µ1,
µ1, …, µk, µk Hierbei gilt:
Beispiele komplexer Funktionen mit ihren Nullstellen finden Sie
unten auf der Seite VOC - Tool zur Berechnung und Darstellung sowie
bei Basins of Attraction.