Nullstellen komplexer Funktionen

Gegenstand der gesamten Seite ist die numerische Bestimmung der Nullstellen und Einzugsbereiche für komplexe Funktionen deren Argumente z und Funktionswerte f (z) komplexe Zahlen sind: 

f : D   mit  D ⊆ ℂ.

 

Hierzu kommen einige Numerische Verfahren für reelle Funktionen (s. unter Nullstellen reeller Funktionen) zur Anwendung; diese lassen sich unmittelbar auf komplexe Funktionen übertragen (s. Newton-Verfahren (komplex), Halley-Verfahren (komplex), Sekantenverfahren (komplex), Schröder-Verfahren (komplex), Householder-Verfahren (komplex) ).

 

Insbesondere sollen hier komplexe Polynome P  betrachtet werden mit

Mit n  bezeichnet man den Grad des Polynoms; eine Zahl ζ ϵ heisst Nullstelle von P, falls P (ζ) = 0. 

 

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra [1] gilt, dass jedes komplexe Polynom vom Grad n > 1 mindestens eine komplexe Nullstelle besitzt. Eine Folgerung aus dem Satz ist, das jedes Polynom vom Grad n 1 genau n Nullstellen ζ1, ζ2, …, ζn ϵ besitzt; diese müssen nicht voneinander verschieden sein und mit der Linearfaktorzerlegung für komplexe Funktionen gilt:  P (z) = an (z - ζ1) (z - ζ2) ... (z - ζn) .

 

Besitzt das Polynom hingegen nur reelle Koeffizienten an, an-1, …, a1, a0 ϵ ℝ, dann tritt mit jeder echt komplexen Nullstelle ζ von P  auch die konjugiert komplexe Zahl mit gleicher Vielfachheit als Nullstelle von P auf und das Polynom hat die Linearfaktorzerlegung

Hierbei sind λ1, …, λk die reellen Nullstellen von P  mit den Vielfachheiten ν1, …, vk und die echt komplexen Nullstellen von P  mit den Vielfachheiten µ1, µ1, …, µk, µk  Hierbei gilt:

 

Beispiele komplexer Funktionen mit ihren Nullstellen finden Sie unter komplexe Beispielfunktionen mit Nullstellen.

Einzugsbereiche der Nullstellen (Basins of Attraction)

Um für eine komplexe Funktion f (z) die Einzugsbereiche ihrer Nullstellen für einen Bereich B ⊆ ℂ zu berechnen und darzustellen,

  • wird jeder Nullstelle ζk von f eine eigene Farbe zugeordnet
  • jeder Startwert z0 ϵ B erhält dann die Farbe der Nullstelle, gegen die das Iterationsverfahren konvergiert bzw. die Farbe Schwarz im Falle der Divergenz des Verfahrens..

Führt man z.B. für reelle Funktionen f : D   und dem Newton-Verfahren mit dieser Methode die Berechnung der Einzugsbereiche für einen Bereich B der x-Achse durch, so erhält man in B farbige Teillinien, wie die folgenden zwei Beispiele zeigen (zur besseren Sichtbarkeit wurde die x-Achse "verbreitert").

Einzugsbereiche der Nullstellen für f(x)=x^3-x beim Newton-Verfahren
Einzugsbereiche der Nullstellen für f(x)=x^5-2x^4-10x^3+20x^2+9x-18 beim Newton-Verfahren

Es zeigt sich, dass die gefundenen Nullstellen nicht in der größenmäßigen Reihenfolge auftreten - was man vielleicht erwarten würde - sondern dass es vielmehr zu Sprüngen und somit zu Farbwechseln kommt. Zommt man in ein Teilintervall von B hinein, in dem Sprünge / Farbwechsel stattfinden, so erhält man auch in diesem Teilintervall wieder weitere Teilintervalle, in denen erneut Sprünge / Farbwechsel stattfinden (vgl. Newton-Verfahren).


Wie sieht nun die entsprechende Grafik für komplexe Funktionen aus?

 

Wendet man z.B. das Newton-Verfahren auf die komplexe Funktion f (z) = z² - 1 an (diese hat nur die beiden Nullstellen 1 und -1), so ist das entstehende Bild der Einzugsbereiche z.B. für B mit Re [-2, 2] eher unspektakulär:

Im Falle komplexer Funktionen mit drei oder mehr Nullstellen zeigt der Plot jedoch ein Fraktal [2] mit entsprechenden farbigen Teilbereichen in B für die Nullstellen (basins of attraction). Das folgende Beispiel zeigt für das komplexe Newton-Verfahren die Einzugsbereiche der Funktion f (z) = z³ - 1 für den Bereich B mit Re [-2, 2] und Im [-2, 2].

Konvergenzgeschwindigkeit

 

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Mit dem Newton-Verfahren ergibt sich dann für die obige Funktion f (z ) = z³ - 1 für B mit Re [-2, 2] und Im [-2, 2] folgendes Fraktal:

Konvergenzgeschwindigkeit Newton-Verfahren für f(z)=z^3-1

 

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Tool zur Berechnung der Fraktale

 

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