Nullstellen komplexer Funktionen

Gegenstand der gesamten Seite ist die numerische Bestimmung der Nullstellen / Einzugsbereiche für komplexe Funktionen deren Argumente z und Funktionswerte f (z) komplexe Zahlen sind: 

f : D   mit  D ⊆ ℂ.

 

Insbesondere sollen hier komplexe Polynome P  betrachtet werden mit

Mit n  bezeichnet man den Grad des Polynoms; eine Zahl ζ ϵ heisst Nullstelle von P, falls P (ζ) = 0. 

Es gelten die folgende Aussagen ...

  • Nach dem Fundamentalsatz der Algebra [1] gilt, dass jedes komplexe Polynom vom Grad n > 1 mindestens eine komplexe Nullstelle besitzt. Eine Folgerung aus dem Satz ist, das jedes Polynom vom Grad n 1 genau n Nullstellen ζ1, ζ2, …, ζn ϵ besitzt; diese müssen nicht voneinander verschieden sein und mit der Linearfaktorzerlegung für komplexe Funktionen gilt:  P (z) = an (z - ζ1) (z - ζ2) ... (z - ζn).
  • Besitzt das Polynom hingegen nur reelle Koeffizienten an, an-1, …, a1, a0 ϵ ℝ, dann tritt mit jeder echt komplexen Nullstelle ζ von P  auch die konjugiert komplexe Zahl mit gleicher Vielfachheit als Nullstelle von P auf und das Polynom hat die Linearfaktorzerlegung:

 

  Hierbei sind λ1, …, λk die reellen Nullstellen von P  mit den Vielfachheiten ν1, …, vk und die
  echt komplexen Nullstellen von P  mit den Vielfachheiten
µ1, µ1, …, µk, µk  Hierbei gilt:

   

Beispiele komplexer Funktionen mit ihren Nullstellen finden Sie unter komplexe Beispielfunktionen mit Nullstellen.