Basins of Attraction für sinh (z) = 0

Die komplexe hyperbolische Funktion sinh (z) = ½ (ez - e-z) (zur Programmierung der komplexen Exponential-Funktion mit OpenGl SL siehe Komplexe Arithmetik mit OpenGL SL unter Grundlagen und Algorithmen) ist periodisch mit der Periode 2iπ und besitzt unendlich viele Nullstellen der Form

 

k i π  mit k ℤ.

 

Bei der Berechnung der Basins of Attraction habe ich mich auf folgende neun Nullstellen beschränkt:

  - 4 i π      - 3 i π     - 2 i π     - i π     0     i π     2 i π     3 i π     4 i π 

 

Die Funktion sinh (z) kann auch mit Hilfe der komplexen Sinus-Funktion dargestellt werden. Es gilt

Daraus folgt, dass sich das Bild für sinh (z) = 0 ergibt, indem das für sin (z) = 0 berechnete Bild um 90° im Uhrzeigersinn gedreht wird. Dazu hier ein Beispiel mit dem Householder-Verfahren zum Vergleich:

Basins of Attraction sin (z) = 0 Householder-Verfahren
Basins of Attraction sin (z) = 0 Householder-Verfahren
Basins of Attraction sinh (z) = 0 Householder-Verfahren
Basins of Attraction sinh (z) = 0 Householder-Verfahren

Interessanterweise gilt dieser Zusammenhang nicht für das Basto-, Chun-Kim I- und das Sekantenverfahren; es ergeben sich unterschiedliche fraktale Strukturen, wie in der folgenden Galerie dargestellt (links: sin(z)=0, rechts: sinh(z)=0).

Hierzu gibt es noch einigen Untersuchungsbedarf ...


Download

Die folgende ZIP-Datei enthält eine CFF-Datei, die mit dem Programm Vision of Chaos für 21 numerische Verfahren die Berechnung der Basins of Attraction sowie der Konvergenzgeschwindigkeit (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen) ermöglicht. Außerdem enthält sie die Paletten-Datei BFrain.MAP, die bei allen  Berechnungen der Konvergenzgeschwindigkeit zugrunde lag.