Basins of Attraction für sinh (z) = 0

Die komplexe hyperbolische Funktion

ist periodisch mit der Periode 2iπ und besitzt unendlich viele Nullstellen der Form k i π mit k ∈ ℤ.

(zur Programmierung der komplexen Exponential-Funktion mit OpenGl SL siehe Komplexe Arithmetik mit OpenGL SL unter VOC-Tool... ).

Bei der Berechnung der Basins of Attraction habe ich mich auf folgende neun Nullstellen beschränkt:

• - 4 i π • - 3 i π • - 2 i π • - i π • 0 • i π • 2 i π • 3 i π • 4 i π

Die Funktion sinh (z) kann auch mit Hilfe der komplexen Sinus-Funktion dargestellt werden. Es gilt

Daraus folgt, dass sich das Bild für sinh (z) = 0 ergibt, indem das für sin (z) = 0 berechnete Bild um 90° im Uhrzeigersinn gedreht wird. Dazu hier ein Beispiel mit dem Householder-Verfahren zum Vergleich:

Basins of Attraction sin (z) = 0 Householder-Verfahren

Basins of Attraction sinh (z) = 0 Householder-Verfahren

Interessanterweise gilt dieser Zusammenhang nicht für die Verfahren von Basto, Hosseini, Ghanbari II und Kanwar; es ergeben sich unterschiedliche fraktale Strukturen, wie dies in der folgenden Galerie dargestellt ist (links: sin(z)=0, rechts: sinh(z)=0).

Klicken Sie auf ein Bild für eine größere, detailreichere Ansicht sowie Informationen zum verwendeten Verfahren. Klicken Sie auf die Bildschirmlupe für eine weitere Vergrößerung; mit den Pfeiltasten ← → am linken / rechten Bildschirmrand bewegen Sie sich innerhalb der Galerie.

sin (z) = 0

sinh (z) = 0

Basins of Attraction sin(z)=0 Ghanbari II-Verfahren, B=[-3, 3]x[-3, 3]

Basins of Attraction sinh(z)=0 Ghanbari II-Verfahren, B=[-3, 3]x[-3, 3]

Basins of Attraction sin(z)=0 Kanwar-Verfahren, alpha=120, z1=(0, 0), B=[-15, 15]x[-15, 15]

Basins of Attraction sinh(z)=0 Kanwar-Verfahren, alpha=120, z1=(0, 0), B=[-15, 15]x[-15, 15]

Basins of Attraction sin(z)=0 Kanwar-Verfahren, alpha=120, z1=(10, 1), B=[-16, 16]x[-16, 16]

Basins of Attraction sinh(z)=0 Kanwar-Verfahren, alpha=120, z1=(10, 1), B=[-16, 16]x[-16, 16]

Basins of Attraction sin(z)=0 Kanwar-Verfahren, alpha=120, z1=(10, 1), Zoom

Basins of Attraction sinh(z)=0 Kanwar-Verfahren, alpha=120, z1=(10, 1), Zoom

Hierzu gibt es noch einigen Untersuchungsbedarf ...

Weitere Berechnungen / Experimente

Falls Sie die obigen Resultate nachvollziehen oder weitere Berechnungen / Experimente mit unterschiedlichsten Parametereinstellungen vornehmen möchten, steht hierfür die nachfolgende ZIP-Datei als Download zur Verfügung. Sie enthält einen Shader (CFF-Datei), der mit dem Programm Vision of Chaos für die Funktion auf dieser Seite für ca. 50 Iterationsverfahren die Berechnung der Basins of Attraction sowie der Konvergenzgeschwindigkeit (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen) ermöglicht.

Die Datei BFrain.zip, enthält die Palette (MAP-Datei), die auf meinen Webseiten bei der Berechnung und Einfärbung der Konvergenzgeschwindigkeit zugrunde lag (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen).

Rootfind sinh(z)=0 BFrain.zip