Basins of Attraction für  z^2 - 1 = 0

Die Funktion f(z) = z² - 1 = (z - 1) (z + 1) besitzt folgende Nullstellen:

Nullstellen von f (z) = z^2-1

Eine Darstellung von f (z) finden sie unter 3D Visualisierung komplexwertiger Funktionen.

 

Für die folgenden Galerien wurde als Ausgangsbereich (so nicht anders angegeben) B = [-2, 2] × [-2, 2] ⊆ ℂ verwendet und dann in kleine Teilbereiche von B hinein gezoomt. Weitere Informationen zum jeweiligen Bild erhalten Sie durch Anklicken des Bildes (s. auch folgender Navigationstipp). Um Ladezeiten kurz zu halten, habe ich die Größe der Fraktale auf 1024 x 1024 Pixel beschränkt.

Eine größere, detailreichere Ansicht lohnt sich. Klicken Sie dazu auf ein Bild in der Galerie (evtl. für eine weitere Vergrößerung auf die dann erscheinende Bildschirmlupe ). Innerhalb der Galerie  bewegen Sie sich mit den Pfeiltasten   am linken / rechten Bildschirmrand.

 

 

Householder-Verfahren


 

Basto-Verfahren

 

Whittaker I -Verfahren


 

Whittaker II -Verfahren

 

Euler-Chebyshev-Verfahren, B = [-4, 4] x [-4, 4]


 

Chun-Kim I-Verfahren

 

Jain -Verfahren


 

Bahgat-Verfahren

 

Ridders -Verfahren


 

Kou-Li-Wang-Verfahren

 

Chun I -Verfahren


 

King-Verfahren, Animationen für -6 < β < 6,  B = [-1, 1] × [-1, 1] 


 

King-Verfahren, β < 0

 

King-Verfahren, β > 0,  B = [-1, 1] × [-1, 1]


 

Feng-Verfahren

 

Contra Harmonic Newton-Verfahren


 

Kung-Traub-Verfahren

 

Fang-Ni-Cheng-Verfahren


 

Sharma-Bahl-Verfahren

 

Chun-Lee-Neta-Verfahren


 

Chun-Kim II -Verfahren

 

Chun-Kim III -Verfahren


 

Ghanbari-Verfahren

 

Fang-Sun-He-Verfahren


 

Chun-Ham-Verfahren


 

modifizierte Verfahren, B = [-1.5, 1.5] × [-1.5, 1.5]


Konvergenzgeschwindigkeit für  z^2 - 1 = 0

Für einen Bereich B = [-5, 5] × [-5, 5] ⊆ ℂ  (so nicht anders angegeben) zeigen die Bilder in folgender Galerie die Konvergenzgeschwindigkeit verschiedener Verfahren an Hand einer Regenbogen-Farbpalette mit 256 Farbwerten. Um die gesamte Farbpalette auf den Bereich der für die Konvergenz erforderlichen Iterationsschritte abzubilden und so die Verfahren vergleichen zu können, wurde p_step für alle Verfahren auf den Wert 10 gesetzt (s. unter Algorithmen). Eine hohe Konvergenzgeschwindigkeit entspricht so Rot- bis Gelbtönen, eine niedrige entspricht Blautönen.

Klicken Sie auf ein Bild in der Galerie, um dieses zu vergrößern und den Verfahrensnamen sowie verfahrensspezifische Parameter anzuzeigen. Innerhalb der Galerie  bewegen Sie sich mit den Pfeiltasten   am linken / rechten Bildschirmrand.


Weitere Berechnungen / Experimente

Falls Sie die obigen Resultate nachvollziehen oder weitere Berechnungen / Experimente mit unterschiedlichsten Parametereinstellungen vornehmen möchten, steht hierfür die nachfolgende ZIP-Datei als Download zur Verfügung. Sie enthält einen Shader (CFF-Datei), der mit dem Programm Vision of Chaos für die Funktion auf dieser Seite für ca. 50 Iterationsverfahren die Berechnung der Basins of Attraction sowie der Konvergenzgeschwindigkeit (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen) ermöglicht.

 

Die Datei BFrain.zip, enthält die Palette (MAP-Datei), die auf meinen Webseiten bei der Berechnung und Einfärbung der Konvergenzgeschwindigkeit zugrunde lag (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen).