Implizite Flächen

Eine implizite Fläche im euklidischen Raum wird durch eine Gleichung der Form f (x, y, z) = 0 beschrieben.

Somit besteht eine implizite Fläche A aus der Gesamtheit der Nullstellen einer Funktion von drei Variablen:

 

A = { (x | y | z) | f (x, y, z) = 0 }.

 

Implizit bedeutet hierbei, dass die Gleichung der Fläche nicht nach x oder y oder z aufgelöst ist.

 

Beispiele impliziter Flächen (s. Grafiken unten):

  • Ebene:                a x + b y + c z + d = 0
  • Kugel:                 x² + y² + z² + r² = 0                                         r: Radius
  • Torus:                 (x² + y² + z² + R² - r² )² - 4 R² (x² + y² ) = 0    R: großer Radius, r: kleiner Radius
  • Doppeltorus:       ((x² + y²)² - x² + y²)² + z² - 0.01 = 0                Fläche vom Geschlecht 2
  • Rotationsfläche:  x² + y² + sin ² (z) - 1 = 0

Ist f (x, y, z) ein Polynom in x, y und z, so nennt man die zugehörige implizite Fläche algebraisch (spezielle algebraische Flächen werden unter Flächen mit Singularitäten betrachtet).

 

Da das Berechnen der Flächenpunkte (d.h. der Nullstellen von f) wesentlich aufwendiger ist als bei Funktionen in expliziter Darstellung oder bei Parameterflächen, erhöht sich die Rechenzeit, insbesondere für höhere Auflösungen, sehr deutlich.

 

Implizite Flächen - Galerie

Die Flächen in dieser Galerie wurden alle mit dem Graphing Calculator 3D (s. auch Tools) erzeugt. Hierfür steht der Graph Type Implicit zur Verfügung.

 

In der Tabelle unten auf der Seite finden Sie für die einzelnen Flächen die zugehörigen Funktionsgleichungen in einer kopierbaren Notation, die die meisten Mathematikprogramme verarbeiten können, sowie die Parametereinstellungen. Auf Wunsch schicke ich auch gerne entsprechende Graphing Calculator 3D-Dateien per Mail zu - kontaktieren Sie mich dazu einfach.

 

Bei einigen Flächen gibt es mehrere Varianten / Ansichten.
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Blob

Clebsch Surface

Deko-Würfel


Lattice



Implizite Flächen - Tabelle der Funktionen und Parameter

Fläche Funktion x y z

Blob

 

 x^2+y^2+z^2+sin(4*x)+sin(4*y)+sin(4*z)-1 = 0

-π

...

 

π

-π

...

 

π

-π

...

 

π

Clebsch Surface

 

81*(x^3+y^3+z^3)-189*(x^2*y+x^2*z+y^2*x+y^2*z+z^2*x+z^2*y)+54*x*y*z+126*(x*y+x*z+y*z)-9*(x^2+y^2+z^2)-9*(x+y+z)+1 = 0

 

f(x,y,z)=81*(x^3+y^3+z^3)-189*(x^2*y+x^2*z+y^2*x+y^2*z+z^2*x+z^2*y)+54*x*y*z+126*(x*y+x*z+y*z)-9*(x^2+y^2+z^2)-9*(x+y+z)+1 - 50 = 0

-3

...

 

3

-3

...

 

3

-3

...

 

3

Deko-Würfel

 

((x^2 + y^2 -a^2)^2 + (z^2 - 1)^2) ((y^2 + z^2 -a^2)^2 + (x^2 - 1)^2) ((z^2 + x^2 -a^2)^2 + (y^2 - 1)^2) - b = 0

 

1 < a < 2

0 < b < 2

-2

...

 

2

-2

...

 

2

-2

...

 

2

Lattice

 

f (x,y,z) =

((cos(x-(-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))*T/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))*sin(y-(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))*T/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))+cos(y-(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))*T/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))*sin(z-(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))*T/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))+cos(z-(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))*T/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))*sin(x-(-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))*T/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2)))) * ( (cos(x-(-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))*G/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))*sin(y-(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))*G/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))+cos(y-(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))*G/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))*sin(z-(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))*G/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))+cos(z-(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))*G/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))*sin(x-(-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))*G/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))))   ; sqrt(x^2 + y ^2 + z ^2)<=8

 

T = 1

G = -1

f (x,y,z) = 0

 -8

...

 

8

 -8

...

 

8

 -8

...

 

8