Parameterflächen

Eine Parameterfläche Φ ist eine zweiparametrige Punktmenge des 3-dimensionalen Raums.

Sie kann daher durch eine Vektor-Funktion zweier Parameter u und v beschrieben werden.

 

 

Diese Funktion heißt Parameterdarstellung der Fläche.

 

Dabei durchlaufen die Paare (u, v) ein gewisses Gebiet D der u,v-Ebene.  Dieses Gebiet ist oft rechteckig mit Seiten parallel zur u- und v-Richtung.

In der Abbildung ist D = [u0 , u1] × [v0 , v1].

Parameterfläche

Quelle:  http://geometrie.eduhi.at/data/KS/gfrerrer_kurven-und-flaechen.pdf


Im Gegensatz zu einer Fläche, die sich als Graph einer Funktion mit zwei Veränderlichen f (x, y) ergibt, können einem Punkt (x | y) auch mehrere z-Werte zugeordnet sein, so dass sich Parameterflächen auch ideal zum Modellieren beliebiger 3D Objekte eignen.

 

Hier einige Basisflächen ...

Parameterfläche Kreisscheibe

Kreisscheibe

x = r • v cos (u)

y = r • v sin (u)

z = 0

u = 0 ... 2 π    v = 0 ... 1

r: Radius

Parameterfläche Zylinder

Zylinder

x = r cos (u)

y = r sin (u)

z = v • h

u = -π ... π    v = 0 ... 1

r : Radius       h: Höhe

Parameterfläche Kegel

Kegel

x = r v cos (u)  

y = r v sin (u)

z = v • h

u = 0 ... 2 π    v = 0 ... 1

r: Radius         h: Höhe

Parameterfläche Ellpsoid

Ellipsoid

x = a cos (u) sin (v)

y = c sin (u) sin (v)

z = b cos (v)

u = 0 ... 2 π    v = 0 ... π

a: große Halbachse

b: kleine Halbachse

c: halbe "z-Dicke"

mit a = b = c : Kugel


Parameterflächen - Galerie

Die Parameterflächen in dieser Galerie wurden alle mit dem Graphing Calculator 3D (s. auch Tools) erzeugt. Hierfür steht der Graph Type Parametric  zur Verfügung; das Gebiet D kann mit den Parametern u und v unter Override Default Range  eingestellt werden.

 

In der Tabelle unten auf der Seite finden Sie die zugehörigen Funktionsgleichungen in einer kopierbaren Notation, die die meisten Mathematikprogramme verarbeiten können, sowie die Parametereinstellungen.

Auf Wunsch schicke ich auch gerne entsprechende Graphing Calculator 3D-Dateien per Mail zu - kontaktieren Sie mich dazu einfach.


Bei einigen Flächen gibt es mehrere Varianten / Ansichten.
Verwenden Sie die Steuerelemente
< > oder klicken Sie direkt auf die Miniaturansicht;
Auch lohnt sich eine vergrößerte, detailreichere Ansicht durch Klicken auf das Symbol  .

Boy's Fläche

Boy's Fläche

Breather


Bonan Jeener Klein

Crescent

Dini Surface


Dupin Cyclide

Fresnel Surface

Folium


Hyperbolic Helicoid
Hyperbolic Helicoid

 Hyperbolic Helicoid

Jeener Klein Surface

Klein Bottle


Klein Bottle (Gray)

Kleinsche Flasche (Nordstrand)
Kleinsche Flasche (Nordstrand)

Klein Bottle (Nordstrand)

Klein Cycloide


Kuen Fläche
Kuen Fläche

Kuen Surface

Kidney Fläche
Kidney Fläche

Kidney Surface

Loops


Pseudo Sphere
Pseudo Sphere

Pseudo Sphere

3D Rosenkurve

Rotoide


Sievert Fläche

Steinbach Schraube
Steinbach Schraube

Steinbach-Schraube

Stiletto


Korkenzieher-Schraube
Korkenzieher-Schraube

Korkenzieher-Schraube

 

Twisted Sphere

Torus - umwickelt


Torus-Knoten 1

Torus-Knoten 2

Umbilic Torus


Borromäische Ringe

Trianguloid Trifoil
Trianguloid Trifoil

Trianguloid Trifoil

Wellenkugel
Wellenkugel

Wellenkugel



Parameterflächen - Tabelle der Funktionen und Parameter

Fläche

parametrische Funktion (u, v)

weitere
Parameter
u v

Boy's Surface

 

x = (sqrt(2)*cos(v)^2*cos(2*u)+cos(u)*sin(2*v))/(2-a*sqrt(2)*sin(3*u)*sin(2*v))

 

y = (sqrt(2)*cos(v)^2*sin(2*u)-sin(u)*sin(2*v))/(2-a*sqrt(2)*sin(3*u)*sin(2*v))

 

 z = (3*cos(v)^2)/(2-a*sqrt(2)*sin(3*u)*sin(2*v))

 a = 0 ... 1

 

a=0:
Roman Surface

 

 0

...

 

π

 

 0

...

 

π

Boy's Surface

 

x = 0.5((2(cos(u)sin(v))^2-(sin(u)sin(v))^2-(cos(v))^2)((cos(u)sin(v))^2+(sin(u)sin(v))^2+(cos(v))^2)+2(sin(u)sin(v))(cos(v))((sin(u)sin(v))^2-(cos(v))^2)+(cos(u)sin(v))(cos(v))((cos(u)sin(v))^2-(cos(v))^2)+(cos(u)sin(v))(sin(u)sin(v))((sin(u)sin(v))^2-(cos(u)sin(v))^2))

 

y = 0.5(sqrt(3)(((sin(u)sin(v))^2-(cos(v))^2)((cos(u)sin(v))^2+(sin(u)sin(v))^2+(cos(v))^2)+(cos(v))(cos(u)sin(v))((cos(v))^2-(cos(u)sin(v))^2)+(cos(u)sin(v))(sin(u)sin(v))((sin(u)sin(v))^2-(cos(u)sin(v))^2)))

 

z = 0.125((cos(u)sin(v))+(sin(u)sin(v))+(cos(v)))(((cos(u)sin(v))+(sin(u)sin(v))+(cos(v)))^3+4((sin(u)sin(v))-(cos(u)sin(v)))((cos(v))-(sin(u)sin(v)))((cos(u)sin(v))-(cos(v))))

 

 0

...

 

π

 0

...

 

π

Breather

 

x = -u+(2*c2*cosh(c1*u)*sinh(c1*u))/c5(u,v)

 

y = (2*c3*cosh(c1*u)*((-1)*c3*cos(v)*cos(c3*v)-sin(v)*sin(c3*v)))/c5(u,v)

 

 z = (2*c3*cosh(c1*u)*((-1)*c3*sin(v)*cos(c3*v) + cos(v)*sin(c3*v)))/c5(u,v)

 

c2=1-c1^2

c3=sqrt(c2)

c5(u,v)=c1*((c3*cosh(c1*u))^2+(c1*sin(c3*v))^2)

0.4 < c1 < 1

-10

...

 

10

-50

...

 

50

Bonan Jeener Klein

 

x = a*cos(u)-cos(a*u)-((a-1)/a)(sin((a-1)*u)+b)sin((a+1)*u/2)cos(v)

y = (sin((a-1)*u)+b)sin(v)

z = a*sin(u)-sin(a*u)+((a-1)/a)(sin((a-1)*u)+b)cos((a+1)*u/2)cos(v)

 

0

...

 

2 π

0

...

 

2 π

Crescent

 

x = (2 + sin(2*pi*u)*sin(2*pi*v))*sin(3*pi*v)

y = (2 + sin(2*pi*u)*sin(2*pi*v))*cos(3*pi*v)

z= cos(2*pi*u)*sin(2*pi*v)+4*v-2

 

0

...

 

1

0

...

 

1

Dini Surface

 

x = rr*cos(n*u)sin(v)

y = rr*sin(n*u)sin(v)

z = rr*(cos(v)+ln(tan(v/2)))+b*n*u

0

...

 

2 π

0

...

 

2

Dupin Cyclide

 

x = (d (c - a cos(u) cos(v)) + b^2 cos(u))/( a - c cos(u) cos(v))

y = (b sin(u) (a - d cos(v)))/( a - c cos(u) cos(v))

z = b sin(v) (c cos(u) - d)/( a - c cos(u) cos(v))

0

...

 

2 π

0

...

 

2 π

Fresnel Surface

 

x = cos(u)*cos(v)/(-2.*sqrt(0.965/3.-0.935/3.*((cos(u)^4+sin(u)^4)*cos(v)^4+sin(v)^4))*cos((acos(-(-0.941/6.+0.374*((cos(u)^4+sin(u)^4)*cos(v)^4+sin(v)^4)-1.309/6.*((cos(u)^6+sin(u)^6)*cos(v)^6+sin(v)^6)-1.221*cos(u)^2*cos(v)^4*sin(u)^2*sin(v)^2)/sqrt(0.965/3.-0.935/3.*((cos(u)^4+sin(u)^4)*cos(v)^4+sin(v)^4))^3)-pi)/3.)+0.8)

 

y = sin(v)/(-2.*sqrt(0.965/3.-0.935/3.*((cos(u)^4+sin(u)^4)*cos(v)^4+sin(v)^4))*cos((acos(-(-0.941/6.+0.374*((cos(u)^4+sin(u)^4)*cos(v)^4+sin(v)^4)-1.309/6.*((cos(u)^6+sin(u)^6)*cos(v)^6+sin(v)^6)-1.221*cos(u)^2*cos(v)^4*sin(u)^2*sin(v)^2)/sqrt(0.965/3.-0.935/3.*((cos(u)^4+sin(u)^4)*cos(v)^4+sin(v)^4))^3)-pi)/3.)+0.8)

 

z = sin(u)*cos(v)/(-2.*sqrt(0.965/3.-0.935/3.*((cos(u)^4+sin(u)^4)*cos(v)^4+sin(v)^4))*cos((acos(-(-0.941/6.+0.374*((cos(u)^4+sin(u)^4)*cos(v)^4+sin(v)^4)-1.309/6.*((cos(u)^6+sin(u)^6)*cos(v)^6+sin(v)^6)-1.221*cos(u)^2*cos(v)^4*sin(u)^2*sin(v)^2)/sqrt(0.965/3.-0.935/3.*((cos(u)^4+sin(u)^4)*cos(v)^4+sin(v)^4))^3)-pi)/3.)+0.8)

 

0

...

 

2 π

-0.5π

...

 

0.5 π

Folium

 

x = 15*cos(u)(2v/pi-tanh(v))

y = 15*cos(u+2pi/3)/cosh(v)

z = 15*cos(u-2pi/3)/cosh(v)

 

-π

...

 

π

-π

...

 

π

Hyperbolic Helicoid

 

x = sinh(v)cos(a*u)/(1+cosh(u)cosh(v))

y = sinh(v)sin(a*u)/(1+cosh(u)cosh(v))

z = cosh(v)sinh(u)/(1+cosh(u)cosh(v))

a = 4

-4

...

 

4

-4

...

 

4

Jeener Klein Surface

 

x = a*cos(u)+cos(a*u)-(((a+1)/4)cos((a+1)u+pi/b)+sqrt(c))sin((a-1)u/2)cos(v)

 

y = (((a+1)/4)cos((a+1)u+pi/b)+sqrt(c))sin(v)

 

z = a*sin(u)-sin(a*u)-(((a+1)/4)cos((a+1)u+pi/b)+sqrt(c))cos((a-1)u/2)cos(v)

0

...

 

2 π

0

...

 

2 π

Klein Bottle

 

x = 6*cos(u)*(1+sin(u))+max(-sign(u-pi),0)*4*(1-cos(u)/2)*cos(u)*cos(v)+max(sign(u-pi),0)*4*(1-cos(u)/2)*cos(v+pi)

 

y = 16*sin(u)+max(-sign(u-pi),0)*4*(1-cos(u)/2)*sin(u)*cos(v)

 

z = 4*(1-cos(u)/2)*sin(v)

 

0

...

 

2 π

0

...

 

2 π

Klein Bottle (Gray)

 

 

x = cos(u)(a+sin(v)cos(u/2)-sin(2v)sin(u/2)/2)

y = sin(u)(a+sin(v)cos(u/2)-sin(2v)sin(u/2)/2)

z = sin(u/2)sin(v)+cos(u/2)sin(2v)/2

a = 2

-π

...

π

-π

...

π

Klein Bottle (Nordstrand)

 

x = cos(u)(cos(u/2)(√2+cos(v))+sin(u/2)sin(v)cos(v))

y = sin(u)(cos(u/2)(√2+cos(v))+sin(u/2)sin(v)cos(v))

z = -sin(u/2)(√2+cos(v))+cos(u/2)sin(v)cos(v)

-2 π

...

 

2 π

0

...

 

2 π

Klein Cycloide

 

x = cos(u/int(c))*cos(u/int(b))*(int(a)+cos(v))+sin(u/int(b))*sin(v)*cos(v)

y = sin(u/int(c))*cos(u/int(b))*(int(a)+cos(v))+sin(u/int(b))*sin(v)*cos(v)

z = -sin(u/int(b))*(int(a)+cos(v))+cos(u/int(b))*sin(v)*cos(v)

 

umax = 2 b c  π

0

...

 

umax

0

...

 

4 π

Kuen Surface

 

x = (2*cosh(v)*(cos(u)+u*sin(u)))/(cosh(v)^2+u^2)

y = (2*cosh(v)*(sin(u)-u*cos(u)))/(cosh(v)^2+u^2)

z = v-(2*sinh(v)*cosh(v))/ (cosh(v)^2 + u^2)
 

-5

...

 

5

-7

...

 

7

Kidney Surface

 

x = cos(u)*(3cos(v) - cos(3v))

y = sin(u)* (3cos(v) - cos(3v))

z = 3sin(v)-sin(3v)
 

0

...

 

2 π

-0.5π

...

 

0.5 π

Loops

 

x = (a*cos(u/b)+rr*cos(v))cos(u)

y = (a*cos(u/b)+rr*cos(v))sin(u)

z = a*sin(u/b)+rr*sin(v)

0

...

 

20 π

-π

...

 

  π

Pseudo Sphere

 

x = sech(t*u)cos(v)

y = sech(t*u)sin(v)

z =t*u-tanh(t*u)

 

sech(u)=1/cosh(t*u)

t = 0 ... 1 für Animation

-4

...

 

4

0

...

 

2 π

3D Rose Curve

 

x = 0.5cos(u)(cos(n/d*u)+√(p^2+cos(n/d*u)^2)*sin(v*v_factor))

y = 0.5sin(u)(cos(n/d*u)+√(p^2+cos(n/d*u)^2)*sin(v*v_factor))

z = - z_factor*0.5(p+√(p^2+cos(n/d*u)^2)*cos(v*v_factor))

0

...

 

20 π

-π

...

 

  π

Rotoide

 

x = f(u,v)*cos(v*t) - rr*cos(u)sin (v*t)

y = f(u,v)*sin(v*t) + rr*cos (u)cos(v*t)

z = (c+ rr*sin (u))cos(k*v*t)

 

f(u,v) = b + (c + rr*sin (u))*sin(k*v*t)

t = 0 ... 1 für Animation

0

...

 

2 π

0

...

 

2 π

Sievert Surface

 

x = rr(u,v)*cos(phi(u))

y = rr(u,v)*sin(phi(u))

z = (ln(tan(v/2))+a(u,v)(c+1)cos(v))/√c

 

phi(u)=-u/sqrt(c+1)+atan(tan(u)√(c+1))

a(u,v)=2/(c+1-c*sin(v)^2cos(u)^2)

rr(u,v)=a(u,v)*√((c+1)(1+c*sin(u)^2))*sin(v)/√c

c = 1

-0.5π

...

 

0.5 π

0.04

...

 

3.11

Steinbach- Schraube

 

 

x = u*cos(t*V)

y = u*sin(t*v)

z = v*cos(u)
t = 0 ... 2 für Animation

-3

...

 

3

0

...

 

2 π

Stiletto

 

x = (2 + cos(u))*cos(v)^3 *sin(v)

y = (2 + cos(u+2*pi/3))*cos(v+2*pi/3)^2*sin(v+2*pi/3)^2

z = -(2 + cos(u-2*pi/3))*cos(v+2*pi/3)^2*sin(v+2*pi/3)^2
 

0

...

 

2 π

0

...

 

2 π

Korkenzieher-Schraube

 

x = rr*(1 - abs(u)) sin(v) + RR (1 -abs(u)) sin(u*n*pi)

y = rr*(1 - abs(u)) cos(v) + RR (1 - abs(u)) cos(u*n*pi)

z = L*u

x = rr*(1 - abs(u)) sin(v) + RR (1 -abs(u)) sin(u*n*pi+c)

y = rr*(1 - abs(u)) cos(v) + RR (1 - abs(u)) cos(u*n*pi+c)

z = L*u

x = rr*(1 - abs(u)) sin(v) + RR (1 -abs(u)) sin(u*n*pi+2c)

y = rr*(1 - abs(u)) cos(v) + RR (1 - abs(u)) cos(u*n*pi+2c)

z = L*u

-1

...

 

1

 0

...

 

2 π

Twisted Sphere

 

x = a*cos(u)cos(v)

y = a*sin(v)+b* u-3*b

z = a*sin(u)cos(v)

 

 0

...

 

2 π

 0

...

 

2 π

Torus umwickelt

 

Wicklung (wrapping):

 

x = (RT+rw*cos(p*u*t)+rt*cos(v))*cos(q*u*t)

y = rt*sin(v)+rw*sin(p*u*t)

z = (RT+rw*cos(p*u*t)+rt*cos(v))*sin(q*u*t)

 

Torus:

 

x = (RT+rt*cos(v))sin(u)

y = rt*sin(v)

z = (RT+rt*cos(v))cos(u)

 

 

t = 0 ... 1 für Animation

 

q ist Vielfaches von p

 0

...

 

2 π

 0

...

 

2 π

Torus umwickelt

(Linie)

 

 

Linie:

 

x = (RT+(rw+a)*cos(p*u*t))*cos(q*u*t)

y = (RT+(rw+a)*cos(p*u*t))*sin(q*u*t)

z = (rw+a)*sin(p*u*t)

 

wie Torus umwickelt

 

a : Abstand der Linie

 0

...

 

2 π

 0

...

 

2 π

 Torus-Knoten 1

 

 wie Torus umwickelt

wie Torus umwickelt

 

p und q teilerfremd

 

 0

...

 

2 π

 

 0

...

 

2 π

Torus-Knoten 2

 

x = sin(n*u*t)*c(u,v)

y = cos(n*u*t)*c(u,v)

z = RR*0.5*(sin(5*u*t)+rr*sin(v))

 

c(u,v)=RR*(2+0.3*cos(5*u*t))+rr*cos(v)

 

 

t = 0 ... 1 für Animation

 0

...

 

2 π

 0

...

 

2 π

Umbilic Torus

 

x = sin(u) (7 + cos(u/3 - 2 v) + 2 cos(u/3 + v))

y =  cos(u) (7 + cos(u/3 - 2 v) + 2 cos(u/3 + v))

z =  sin(u/3 - 2 v) + 2 sin(u/3 + v)+3

  0

...

 

2 π

0

...

 

2 π

Borromean Rings

 


x = (rb+rs*cos(v))*cos(u)

y = (rb+rs*cos(v))*sin(u)+rb*√(3)/3

z = rs*sin(v)+3*sin(3*u+1+√(3)/3)

x = (rb+rs*cos(v))*cos(u)+0.5*rb

y = (rb+rs*cos(v))*sin(u)-rb*√(3)/6

z = rs*sin(v)+3*sin(3*u+1+√(3)/3)

x = (rb+rs*cos(v))*cos(u)-0.5*rb

y = (rb+rs*cos(v))*sin(u)-rb*√(3)/6

z = rs*sin(v)+3*sin(3*u+1+√(3)/3)

rb = 10

rs = 2

 

mit rs = 2.5 berühren sich die Ringe

 

 0

...

 

2 π

 

 0

...

 

2 π

 Trianguloid Trifoil

 

x = 2 sin(3 u) / (2 + cos(v))

y = 2(sin(u) + 2 sin(2u)) / (2 + cos(v + 2 pi / 3))

z = (cos(u) - 2 cos(2 u)) (2 + cos(v)) (2 + cos(v + 2 pi / 3)) / 4

 

-π

...

 

π

-π

...

 

π

 Wellenkugel

 

 

x = t*u*cos(cos(t*u))cos(v)

y = t*u*cos(cos(t*u))sin(v)

z = t*u*sin(cos(t*u))

 t = 0 ... 1 für Animation 0

...

 

5 π

0

...

 

4.5



Links:

 

Hier finden Sie weitere Parameterflächen und mathematische Details:

 

http://3d-meier.de/

http://mathworld.wolfram.com