Modellierung eines 3D Würfels

Es mag vielleicht ein wenig verwundern, dass ein einfaches Objekt wie ein Würfel an dieser Stelle auftaucht. Jedoch gibt es mehrere Ansätze, um eine Funktion aufzustellen, die einen Würfel mit der Kantenlänge a erzeugt.

Für die folgenden Betrachtungen soll der geometrische Mittelpunkt des Würfels in (0 | 0 | 0) eines Koordinatensystems liegen.

Würfel in Parameterdarstellung

Zunächst betrachte man eine Kugel, die ihren geometrischen Mittelpunkt in (0 | 0 | 0) hat, vollständig im Würfel liegt und maximal groß ist. Somit beträgt ihr Durchmesser a bzw. ihr Radius 0.5 a (s. Bild rechts).

Sie lässt sich erzeugen mittels der parametrischen Funktion

x (u,v) = 0.5 a cos(u) sin(v)

y (u,v) = 0.5 a sin(u) sin(v)

z (u,v) = 0.5 a cos(v)

mit 0 ≤ u ≤ π und 0 ≤ v ≤ 2π

Nun projiziere man die Kugelkoordinaten auf die Würfeloberfläche, indem der Radius der Kugel durch die Größe

m = max [ | cos(u) sin(v) |, | sin(u) sin(v) |, | cos(v) | ]

geteilt wird. Somit ergibt sich folgende parametrische Funktion für den Würfel:

x (u,v) = 0.5 a cos(u) sin(v) m^-1

y (u,v) = 0.5 a sin(u) sin(v) m^-1 (C.1)

z (u,v) = 0.5 a cos(v) m^-1

In der nachstehenden Bildfolge (von links nach rechts) wurde dies nacheinander für die x-, y- und z-Komponente der Kugel durchgeführt.

Projektion der Kugeloberfläche auf die Würfeloberfläche - 1

Projektion der Kugeloberfläche auf die Würfeloberfläche - 2

Mit einem Super-Ellipsoid ergibt sich eine weitere parametrische Darstellung eines Würfels.
Hierbei sind r_x = r_y = r_z = 0.5 a, n₁ und n₂ sind sehr klein zu wählen (z.B. 0.000001).

Würfel in impliziter Darstellung

Eine implizite Darstellung der Würfelfunktion ergibt sich unmittelbar aus den geometrischen Eigenschaften der Würfeloberfläche:

max [ | x |, | y |, | z | ] = 0.5 a (C.2)

Eine weitere implizite Darstellung für die Würfeloberfläche ist:

xⁿ + yⁿ +zⁿ = 0.5 a (C.3)

Hierbei ist n eine natürliche gerade Zahl > 2.

Für n = 2 ergibt sich eine Kugel; mit größer werdenden Werten für n nähert sich der "Würfel" mit runden Kanten immer mehr der Idealform, so dass n hinreichend groß zu wählen ist:

Implizite Fläche x^n+y^n+z^n = 0.5 a mit n=2

Implizite Fläche x^n+y^n+z^n = 0.5 a mit n=4

Implizite Fläche x^n+y^n+z^n = 0.5 a mit n=10

Implizite Fläche x^n+y^n+z^n = 0.5 a mit n=20

Implizite Fläche x^n+y^n+z^n = 0.5 a mit n=100

Implizite Fläche x^n+y^n+z^n = 0.5 a mit n=200

Performance-Vergleich

Die obigen Funktionen C.1 bis C.3 sowie das Super-Ellipsoid wurden mit Graphing Calculator 3D einem Vergleich im Hinblick auf die erzeugte Form unterzogen. Die Auflösung wurde für alle gleich gewählt (Resolution = 10). Die Rechenzeit lag dabei unter einer Sekunde.

Wie erwartet schneidet das Super-Ellipsoid am besten ab. In der nachstehenden Bildfolge ist dieses als halber Würfel in blau dargestellt.

Vergleich Super-Ellipsoid mit Methode C.1

Vergleich Super-Ellipsoid mit Methode C.2

Vergleich Super-Ellipsoid mit Methode C.3

Die Funktion C.1 schneidet am schlechtesten ab. Um ein Ergebnis wie im folgenden Bild dargestellt zu erhalten, muss die Auflösung auf 50 erhöht werden, die Rechenzeit liegt dann aber im Minutenbereich.

3D Würfel mit Methode C.1 und hoher Auflösung

Mit der Funktion C.3 können zwar bei einer Auflösung von 10 recht scharfe Kanten erzeugt werden, allerdings ist der erzeugte Würfel etwas zu klein, da der Kantenwert 1 beim Lösen der impliziten Gleichung nicht erreicht wird (s. Bildfolge oben rechts, Bild vergrößern). Der Fehler beträgt 0.25 % der Kantenlänge a.

Bemerkenswert ist das Super-Ellipsoid mit den obigen Einstellungen: bereits bei einer Auflösung von 1 und einer mit meiner Stoppuhr nicht messbar kurzen Rechenzeit beträgt der Kantenfehler 0.0004 % von a.