3D Spielwürfel

... eine kleine Spielerei, die mit dem Graphing Calculator 3D erzeugt wurde ...

 

Der Würfel mit der Kantenlänge 2•R wurde mit der impliziten Funktion

 

x20 + y20 + z20 - R20 = 0

 

 erzeugt und hat seinen Mittelpunkt in (0 | 0 | 0) (s. auch Spezielle Flächen / Würfel).

Da sich ein Würfelauge als weiß ausgefüllte Kreisfläche nur mit einer parametrischen Funktion erzeugen lässt, der Editieraufwand für die 21 Augen mir aber zunächst zu hoch erschien, habe ich zu einer kleinen "Schummelei" gegriffen; die Punkte auf dem Würfel sind in Wirklichkeit kleine Kugeln mit dem Radius r und dem Mittelpunkt (xc | yc | zc), die nur ein wenig aus der Würfeloberfläche ragen (s. rechte Grafik). Dazu wurde die Funktion

 

f (x, y, z, xc, yc, zc) = (x - xc)² + (y - yc)² + (z - zc)² + r²

 

definiert und entsprechend der Augenzahl und -anordnung auf der jeweiligen Würfelfläche in impliziter Darstellung f (x, y, z, ,...) = 0 aufgerufen (insgesamt 21 Aufrufe).


Nun gut ... so hoch ist der Aufwand nun auch wieder nicht. Die folgenden Würfel mit "flachen" Würfelaugen wurden mit 21 parametrischen Funktionen erzeugt.

Ein Würfelauge (engl. pips) ist eine Kreisscheibe. Für ein Würfelauge in der xy-Ebene mit dem Radius rad und den Mittelpunktskoordinaten xc und yc lautet die parametrische Funktion folglich

 

mit u, v = 0, ..., 1 und der halben Kantenlänge R.

 

Durch Erhöhen der Exponenten von 20 auf 120 in der den Würfelkorpus bildenden Funktion hat der folgende halbtranparente Spielwürfel scharfe Kanten und gleicht dem abgebildeten Casino-Würfel [1], der in der Regel sogar nummeriert ist.


Noch etwas aufwendiger wird die Modellierung eines Spielwürfels mit Graphing Calculator 3D, will man die Würfelaugen als farbige Vertiefungen realisieren, wie dies bei sehr vielen Spielwürfeln der Fall ist (s. Grafik rechts).

 

Hierzu wird jede Fläche des Würfels in 9 gleichgroße Teilquadrate aufgeteilt.

Dort, wo bei einer Würfelfläche die Augen plaziert werden sollen, wird mit einer parametrischen Funktion ein Quadrat mit einem Loch erzeugt, z.B. für ein Teilquadrat in der xy-Ebene (s. folgende Grafik) mittels

 

mit u, v = 0, ..., 1 und der halben Kantenlänge R.

In das Loch wird dann eine Halbkugel mit dem Lochradius rad (ebenfalls eine parametrische Funktion) eingebettet.

 

Der Würfel besteht somit aus 6•9 + 21 = 75 parametrischen Funktionen.

 

Durch Zusammenfassen leerer quadratischer Teilflächen, die kein Auge enthalten, zu einer größeren Fläche (s. Grafik unten) lässt sich die Anzahl reduzieren auf

(2•1 + 4) + (2•2 + 4) + (2•3 + 4) + (2•4 + 3) + (2•5 + 4) + (2•6 + 1) = 62 parametrische Funktionen.

Abgerundete Ecken und Kanten lassen sich mit der zuvor beschriebenen Methode leider nicht ohne weiteres realisieren.