Funktionsgraph als Rohr / Röhre

Funktionsgraph als Rohr/Röhre

Für eine Simulation zur Thematik Trassierung soll der Graph einer zweidimensionalen Funktion y = f (x) als ein Rohr/Röhre dargestellt werden, d.h. ein "flexibler Zylinder" umschließt den mittig verlaufenden Graph (ähnlich einem Draht mit Kunststoffummantelung) wie es die Animation rechts zeigt.

 

Die Idee zur Lösung ist, an einer Stelle x0 einen Kreis mit dem Radius r (dieser entspricht dem Querschnitt des Rohrs/Röhre) zu erzeugen, dessen Mittelpunkt M auf dem Funktionsgraphen lin (x0 | f (x0)) liegt und dessen Fläche senkrecht auf der Tangente an der Stelle x0 steht (s. folgende Grafik). Die Stelle x0 wird dann durch den Parameter u ersetzt, der die x-Werte im gewünschten Bereich überstreift und so den Mantel des Rohrs/Röhre erzeugt.      

Konstruktion des Funktionsgraphs als Rohr/Röhre

 

Der in nebenstehender Grafik sich an der Stelle x0 befindende Kreisring q (Querschnitt q des Rohrs) wird per parametrischer Funktion erzeugt mit
v = 0, ..., 2π:

         Konstruktion des Funktionsgraphs als Rohr/Röhre

Für die Tangente t und ihren Steigungswinkel α im Kreismittelpunkt M (x0 | f (x0)) gilt:

  • Steigung:  f ' (x0) = tan (α)

 

Der Kreisring ist nun um die durch M in z-Richtung verlaufende Rotationsachse z' zu rotieren, so dass die in M senkrecht zur Tangente stehende Normale n in der Kreisebene liegt.

 

Der Rotationswinkel φ (x0) beträgt somit φ (x0) = - atan (f ' (x0)). Mit der Rotation um diesen Winkel ergibt sich der korrekte Kreisring (gelb in Grafik) an der Stelle x0 gemäß (s. auch  3D Rotationen um Koordinatenachsen):

Die folgende linke Grafik zeigt die entstehenden Kreisringe beim Überstreichen des Funktionsgraphs. In der rechten Grafik ist schließlich das entstehende Rohr abgebildet, wenn x0 durch a+u(b-a) mit u = 0, ..., 1 ersetzt wird und somit alle x-Werte aus dem Intervall [a, b] des darzustellenden Rohrabschnitts durchlaufen werden.

Den Kreis als Querschnittsfunktion q der Ummantelung kann man natürlich auch durch andere geeignete parametrische Funktionen ersetzen, wie z.B. durch eine Ellipse, Astroide oder Nephroide:

Eine Datei für den Graphing Calculator 3D, mit der sich ein Funktionsgraph als Rohr/Röhre darstellen lässt, finden Sie im unten im Download-Bereich.

 

Funktionsgraph als Band

Funktionsgraph als Band zur Darstellung einer Straße bei der Trassierung

Setzt man in der obigen parametrischen Funktion zur Darstellung des Rohrs/Röhre die z-Komponente zu Null, so ergibt sich ein ebenes Band mit der Breite 2 • r.

 

Dies kann z.B. beim Thema Trassierung genutzt werden, um einen Straßenverlauf zu modellieren.

 

In der nebenstehenden Animation stellt der Funktionsgraph von f  (Linie aus Punkten) den "Mittelstreifen" der Straße dar, die sich als Band der Breite 2 • r um diesen schmiegt.

Graph einer parametrischen Funktion als Rohr/Röhre

Um den Graph einer parametrischen Funktion f  mit x = fx (u) , y = fy (u) als Rohr/Röhre darzustellen, kann mein obiges Schema verwendet werden, indem x0 durch fx (u) und f (x0) durch fy (u) ersetzt werden.

Die parametrische Funktion f ist differenzierbar,  falls die Ableitungen von fx und fy nach u existieren
und
fx (u) ≠ 0. Für die Ableitung f ' gilt dann:

Die folgende Bildergalerie zeigt folgende Beispiele parametrischer Funktionen (von links nach rechts):

 

•   Ellipse

•   Kardioide

•   Klothoide

(Hinweis:  Für die Klothoide habe ich auf eine Animation verzichtet, da die Berechnung der beiden
Fresnel-Integrale sehr lange dauert. Auch mit der alternativen Parametrisierung der Klothoide (s. unten bei Klothoide) dauert die Berechnung auf meiner derzeitigen Hardware zu lange für eine flüssige Animation.)


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