Kursbeispiele

Die Berechnung und Darstellung einer Orthodrome und Loxodrome zwischen einem Startpunkt S (φs | λs) und einem Zielpunkt Z (φz | λz) auf der Erde erfolgt mittels EXCEL. Die Koordinaten von S und Z werden manuell per Regler eingestellt; alternativ können aus einer Liste von 910 Orten weltweit Städte/Flughäfen (rote Punkte in folgender Grafik) aus einer Liste durch Anklicken ausgewählt werden.

Weltkarte mit Städten/Flughäfen

Folgende Größen werden berechnet:

  • α : Startkurs der Orthodrome
  • ω : Zielkurs der Orthodrome
  • α : Kurs der Loxodrome
  • g : Weglänge auf Orthodrome
  • s : Weglänge auf Loxodrome
  • P: nördlichster Punkt der Orthodrome
  • Q: südlichster Punkt der Orthodrome
  • E: Schnittpunkt von Orthodrome und Äquator

Die Erde und obige Größen werden in einem "3D"-Diagramm dargestellt; die Erde kann mit Hilfe zweier Schieberegler gedreht werden (s. Beispiel in folgender Grafik), um die Kursverläufe besser betrachten zu können.

3D-Diagramm der Orthodrome, Loxodrome und beliebig drehbarer Erde

Zusätzlich lassen sich noch die Breitenkreise und Meridiane von S und Z einblenden.

 

Weiterhin werden die berechneten Größen auch auf einer Weltkarte dargestellt, um sich das Szenario besser vorstllen zu können. Bei der Karte handelt es sich um eine äquidistante Zylinderprojektion der Erde, d.h. alle Breitenkreise haben den gleichen Abstand. Durch diese Projektion erscheint die Orthodrome dann als s-förmiger Verlauf, während die Loxodrome für Breiten zwischen 60° N und 60° S nahezu eine Gerade ist. Bei einer Mercatorkarte ist die Loxodrome eine "echte" Gerade (s. unter Loxodrome).

 

Bei kurzen Strecken ist eine Loxodrome nur unwesentlich länger als eine Orthodrome. Bei hoher Breite und Entfernungen unterhalb von 30 Längengraden liegt der relative Längenunterschied bei weniger als 1 %. Danach steigt er deutlich an.

 

 

Im Folgenden nun einige Beispiele ...

Johannesburg (Südafrika)  ►  New York JFK (USA)

Orthodrome und Loxodrome für den Weg von Johannesburg nach New York

Der Weg auf der Loxodrome ist nur ca. 100 km länger als der auf der Orthodrome. Start- und Zielkurs der Orthodrome sowie der Kurs der Loxodrome liegen im gleichen Bereich.


Tokyo (Japan)  ►  Rio de Janeiro (Brasilien)

Orthodrome und Loxodrome für den Weg von Tokyo nach Rio de Janeiro

Während der Weg auf der Orthodrome über den arktischen Bereich der nördlichen Halbkugel mit einer kürzesten Entfernung von ca. 1.100 km zum Nordpol verläuft, wird bei der Loxodrome ein östlicher Kurs eingeschlagen; dieser ist ca. 1.200 km länger.


Sidney (Australien)  ►  Santiago (Chile)

Orthodrome und Loxodrome für den Weg von Sidney nach Santiago de Chile

Da die Breiten beider Orte fast die gleichen Werte aufweisen, ist der Abstand der Windungen der Loxodrome recht klein (bei exakt gleichen Breiten sind Loxodrome und Breitenkreis kongruent, vgl. Loxodrome).


Porto Alegre (Brasilien)  ►  Sonderstrom (Grönland)

Orthodrome und Loxodrome für den Weg von Porto Alegre nach Sonderstrom

Hier sind die Längen beider Orte nahezu identisch; die Loxodrome entspricht fast dem Meridian.


Kirkenes (Norwegen)  ►  Cold Bay (Alaska)

Orthodrome und Loxodrome für den Weg von Kirkenes nach Cold Bay


Längster Seeweg auf einer Orthodrome

Eine interessante Frage ist auch, wie lang der längste Seeweg auf einer Orthodrome ist.

Mit einer kleinen Anpassung in EXCEL und durch Ausprobieren mit Hilfe der zugegebenermaßen recht groben Weltkarte im EXCEL-Blatt habe ich folgende Daten bestimmen können:

Die Route startet im Arabischen Meer nahe der westlichen Grenze zwischen Pakistan und Indien, verläuft zwischen Afrika und Madagaskar, vorbei an den Südspitzen Afrikas sowie Südamerikas und endet am östlichen Zipfel der russischen Halbinsel Kamtschatka in der Beringsee.

Quelle:  https://www.google.com/maps

längster Seewg auf einer Orthodrome

Die obigen Berechnungen sind allerdings rein theoretischer Natur, denn zum einen ist bei meiner verwendeten Karte nicht sicher zu erkennen, ob nicht doch eine kleine Insel "im Weg liegt" oder ob sich durch minimale Verschiebungen des Start- und Zielpunktes eventuell noch ein längerer Weg ergibt.

 

Tatsächlich ist der längste Seeweg auf einer Orthodrome mit 32.089,7 km noch ca. 275 km länger als mein berechneter Wert. Dies haben zwei Forscher in 2018 mittels einer eigenen Optimierungs-Software herausgefunden [1], [2].