Rotationskörper - Grundlagen

In der Mathematik, im Ingenieurwesen und der Fabrikation versteht man unter einem Rotattionskörper ein räumliches Objekt, dessen Oberfläche durch Rotation einer erzeugenden Kurve (Funktion f) um eine Rotationsachse gebildet wird. Die erzeugende Kurve liegt dabei in der gleichen Ebene wie die Rotationsachse.

 

Bekannte Rotationskörper sind z.B. Zylinder, Kegel, Kegelstumpf, Kugel und Torus.

 

Für die Rotationskörper auf meiner Webseite ist die erzeugende Kurve der Graph einer Funktion y = f (x) innerhalb eines x-Intervalls [a, b]. Diese nennt man üblicherweise auch Randfunktion, da sie den Rand des Rotationskörpers beschreibt.

 

Da die Rotationsachse in der gleichen Ebene wie die erzeugende Kurve (Funktion) liegen muss (also in der x/y-Ebene), kommt hierfür entweder die x-Achse oder die y-Achse in Betracht, wobei die entstehenden Rotationskörper bei gleichen Randfunktion f in der Regel sehr unterschiedlich aussehen, wie das Beispiel in beiden folgenden Grafiken zeigt:

Der 3D-Plot eines Rotationskörpers mit einer allgemeinen Randfunktion f wird mit einer parametrischen Funktion mit den Parametern u und v erzeugt:

Rotation um x-Achse:

x (u)    = u

y (u, v) = f (u) • cos (v)

z (u, v) = f (u) • sin (v)

u = a … b

v = 0 … 2π

Rotation um y-Achse:

x (u)    = f-1 (u) • cos (v)

y (u, v) = u

z (u, v) = f-1 (u) • sin (v)

u = f (a) … f (b)

v = 0 … 2π

f-1 ist die Umkehrfunktion zu f


Um beim 3D-Plot der Rotation um die y-Achse das Bilden der Umkehrfunktion f-1 zu vermeiden, kann man die Achsen vertauschen (s. Anhang "Darstellung der Rotation um y-Achse" unter Volumen Rotation um y-Achse).

 

Insbesondere mit der Rotation einer Funktion um die x-Achse lassen sich vielfältige Objekte - auch aus dem Alltag - modellieren (s. Beispiele). Da solche "echten" Objekte eine Wand mit einer entsprechenden Wanddicke besitzen, benötigt man eine zweite Randfunktion für die Rotation um die x-Achse. Die Wand befindet sich somit zwischen der äußeren und der inneren Randfunktion.

 

In der Graphing Caculator 3D-Datei Solid of Revolution about x-Axis.gc3 ist dies berücksichtigt. Sie erzeugt einen Rotationskörper mit Wand (grau in folgender Querschnittskizze) und liefert diverse Maße ebenso wie die Volumina der Wand und des Innenraums (s. hierzu Volumen Rotation um x-Achse):

Folgende Größen können hierbei eingegeben werden:

  • f        : äußere Randfunktion
  • g       : innere Randfunktion
  • a , b  : Grenzen der äußeren Randfunktion f
  • ai , bi : Grenzen der inneren Randfunktion g
  • ZE     : Zeichen-(Recheneinheit)

Berechnet werden:

  • h       : Höhe des Rotationskörpers
  • da     : Durchmesser der Öffnung bei a
  • db     : Bodendurchmesser bei b
  • r        : Breite des Randes an der Öffnung
Maße bei einem doppelwandigen Rotationskörper
Maße bei einem doppelwandigen Rotationskörper

In der Grafik ist a = ai gewählt, da der Rotationskörper sonst keine Öffnung hätte.Selbstverständlich lassen sich a und b und somit die Position des Bodens und der Öffnung vertauschen.

 

Weiterhin kann man durch Anklicken wählen, ob der Rotationskörper am Boden oder der Öffnung offen sein soll, einen geschlossenen "Deckel" oder einen Deckel mit Öffnung entsprechend der dortigen Wanddicke r besitzen soll:

Außerdem kann man mittels eines Sliders ("t") den Winkel der Rotation von 0 (nur die Randfunktionen) bis 1 (geschlossene Mantelfläche des Rotationskörpers) einstellen bzw. animieren (s. oben).


Beispiele für die Berechnung obiger Maße an Rotationskörpern um die x-Achse finden Sie unter
Volumen bei Rotation um x-Achse, wobei die Graphing Calculator 3D-Datei auch noch das Volumen und Gewicht des Rotationskörpers berechnet.


Download