Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse

Für einen Rotationskörper, der durch die Rotation einer Funktion y = f (x) um die x-Achse eines Koordinatensystems im Intervall [a, b] entsteht, soll das Volumen bestimmt werden.

 

Hinweis:  Für eine Funktion f in Parameterdarstellung siehe Volumen mit parametrischer Funktion.

 

Rotationskörper (Fass) bei Rotation um x-Achse

Als Beispiel für die Volumenbestimmung soll ein Fass dienen; dieses entsteht z.B. durch die Rotation (s. oben) der Funktion f (x) = -0.04 x² + 4 um die x-Achse in den Grenzen -5 und 5.

 

Mit diesem Problem beschäftigte sich bereits Johannes Kepler (1571 - 1630) als er für seine Hochzeit Weinfässer bestellte und der Weinhändler mit Hilfe einer Messlatte das Volumen des Weins ermittelte.

 

"Mir schien es verwunderlich, ob es möglich sei, aus der durch den Körper des halben Fasses quer gezogenen Linie den Inhalt zu bestimmen, und ich zweifelte an der Zuverlässigkeit dieser Messung."

 

Johannes Kepler (1571 - 1630)

Quelle: de.wikipedia.org

Volumenbestimmung an einem Weinfass

Quelle: www.keplerraum.at


zur Fassregel von Kepler

 

Kepler ermittelte für das Volumen eines Fasses der Höhe h die folgende Näherungsformel:

zur Fassregel von Kepler

wobei die Funktion q den Querschnitt an der entsprechende Stelle angibt. Angewandt auf unser Beispiel ergibt sich für das Fassvolumen:

zur Fassregel von Kepler

Mit einem tatsächlichen Volumenwert von 425.16 beträgt der Fehler des mit der Kepler'schen Formel ermittelten Volumens lediglich 0.98%.



Mit den heutigen Mitteln der Infinitesimalrechnung - Newton und Leibniz sei dank - können wir eine exakte Volumenformel für einen Rotationskörper herleiten. Dazu zerlegen wir das Intervall [a, b] in n gleiche Teile der Breite ∆x und bilden n innen liegende Scheiben (Zylinder):

Inneres Rotationsvolumen um x-Achse (Herleitung) - 1
Inneres Rotationsvolumen um x-Achse (Herleitung) - 2
Inneres Rotationsvolumen um x-Achse (Herleitung) - 3

Das Volumen Vi der i-ten Scheibe errechnet sich gemäß der Volumenformel für einen Zylinder zu
Vi = π [ f(xi-1) ] ² ∆x.

Das Gesamtvolumen des durch die innenliegenden Scheiben gebildeten Körpers VI ergibt sich somit zu

 

Betrachten wir nun eine Näherung für den Rotationskörper mit n außen liegenden Scheiben:

Äußeres Rotationsvolumen um x-Achse (Herleitung) - 1
Äußeres Rotationsvolumen um x-Achse (Herleitung) - 2
Äußeres Rotationsvolumen um x-Achse (Herleitung) - 3

Das Volumen Vi der i-ten Scheibe beträgt Vi = π [ f(xi) ] ² ∆x. Für den durch die außen liegenden Scheiben gebildeten Körper ergibt sich das Gesamtvolumen VA somit zu

Je größer die Anzahl n der Scheiben ist, desto mehr nähern sich die Konturen der Scheibenkörper der Kontur des durch f erzeugten Rotationskörpers, wie dies in der folgenden Grafik dargestelllt ist:

Übergang vom Scheibenkörper zum Rotationskörper

Für n → ∞ gehen die Summen in Integrale über - es ergibt sich für beide Scheibenkörper ein gemeinsamer Grenzwert - das Volumen des Rotationskörpers:

 



Angewandt auf unser Beispielfass ergibt sich mit  h (x) = [f (x)]²  für das Volumen die folgende Rechnung:

h (x) = [f (x)]² = (- 0.04 x² + 4)²  = 0.0016 x4 – 0.32 x² + 16

H (x) = 0.0016 • 1/5 x5 – 0.32 • 1/3 x² + 16 x

H (5) = 203 / 3

H (-5) = - 203 / 3

 

V = π (203/3 – (- 203/3)) = π • 406/3 = 425.162…



Im folgenden sollen noch zwei weitere Beipiele zur Anwendung der obigen Volumenformel:betrachtet werden.

Der Füllraum einer Isolierkanne (blau in nebenstehender Grafik) entsteht durch Rotation der Funktion f um die x-Achse eines Koordinatensystems in den Grenzen - 0.88 bis - 0.2 mit

Hierbei entspricht 1 Zeicheneinheit (ZE) 20 cm. Wie groß ist das Füllvolumen?

mit h (x) = [f (x)] ².

 

Das Quadrieren von f ist auf Grund der Wurzelfunktion besonders "anwenderfreundlich":

 

h (x) = 0.8² • (- x² - 1,06 x - 0,1584)

H (x) = 0,64 (- 1/3 x³ - 0,53 x² - 0,1584 x)

H (-0.2)   =  0.00841387

H (-0.88) = -0.02808491

 

V = π (0.00841387 – (-0.02808491)) = 0.11466428 VE

Da 1 VE = (1 ZE) ³ ist, ergibt sich schließlich

 

V = 0.11466428 • 20³ cm³ = 917.3 cm³



Kugel als Rotatiosnkörper um die x-Achse

Es soll die Formel zur Volumenbestimmung einer Kugel mit dem Radius r  hergeleitet werden.

Die Kugel entsteht durch Rotation der Funktion

Kugel als Rotatiosnkörper um die x-Achse

um die x-Ache im Intervall [-r, r].

Kugel als Rotatiosnkörper um die x-Achse

mit h (x) = [f (x)] ² = r² - x²

 

H (x) = r² • x - 1/3 x³

H (r)  =  r³ - 1/3 r³

H (-r) = -r³ + 1/3 r³

 

VKugel = π (r³ - 1/3 r³ + r³ - 1/3 r³) = π • 4/3 r³


Mit der Graphing Calculator 3D-Datei Solid of Revolution about x-Axis.gc3  lassen sich außer diversen Maße (s. Grundlagen) auch das Volumen und Gewicht eines Rotationskörpers (genauer: der Wand) sowie sein Füllvolumen Vi bestimmen.

Folgende Größen sind hierzu einzugegeben:

  • f        : äußere Randfunktion
  • g       : innere Randfunktion
  • a , b  : Grenzen der äußeren Randfunktion f
  • ai , bi : Grenzen der inneren Randfunktion g
  • ZE     : Zeichen-(Recheneinheit)
  • ρ       : Materialdichte der Wand

Berechnet werden:

  • Va       : Außenvolumen (erzeugt durch f)
  • Vi        : Innenvolumen (erzeugt durch g)
  • V       : Volumen des Rotationskörpers (Wand)
  • G      : Gewicht des Rotationskörpers (Wand)
Maße bei Volumenbestimmng eines doppelwandigen Rotationskörpers

Die Integrale zur Bestimmung von Va und Vi werden numerisch berechnet (s. Numerische Integration).


Beispiel 1

 

Es sollen Volumen und Gewicht eines Eierbechers aus Glas ermittelt werden. Folgende Größen sind gegeben:

  • f (x) = 1.1 √ (x+2)    (äußere Randfunktion)

  • g (x) = 0.25 x + 1     (innere Randfunktion)
  • Boden bei a = 0.7
  • Öffnung bei b = 5
  • Innerer Boden bei x = 2
  • Glasdichte ρ = 2.2 g/cm³
  • 1 Zeicheneinheit ZE = 1 cm
Rotationskörper (Eierbecher)

Eingaben:                                                          Ergebnisse:

         

 

Das Materialvolumen des Eierbechers beträgt ca. 46 cm³, er wiegt ca. 100 Gramm.

 

Zur Berechnung der Querschnittsfläche des Glaskörpers s. unter Fläche zwischen Funktionen (Beispiel 3).


Beispiel 2

 

Was wäre der schönste Eierbecher ohne ein Ei?

Um ein Ei mathematisch als Rotationskörper zu modellieren, gibt es vielfältige Ansätze (s. dazu auch 3D Ei). Ich habe mich für folgende Wurzelfunktion entschieden, die die Form eines Eies recht gut wiedergibt:

 

Das Ei liegt im Intervall [0, 6], wobei eine Zeicheneinheit 1 cm beträgt. Als mittlere Dichte für das Ei wird ρ = 1.2 g/cm³ angenommen.

Wie schwer ist das Ei?

 

Da es nur einen "äußeren Körper" gibt, wird g (x) = 0 gesetzt:

 

 

Das Ei wiegt 61 Gramm. 

Rotationskörper (Ei)


Beispiel 3

 

Für einen kleinen Parfümflacon sind das Materialvolumen und das Gewicht zu bestimmen. Der Flacon wird durch die Rotation zweier Funktionen f und g um die x-Achse eines Koordinatensystems erzeugt:

  • f (x) = - x³ + x                            äußere Randfunktion
  • g(x) = 0.7 √ (- x² + x - 0.1056)  innere Randfunkton (blau)
  • 1 Zeicheneinheit (ZE) entspricht 8 cm
  • der Boden liegt bei x = 0.92, die Öffnung bei x = 0.15
  • das verwendete Acrylglas hat eine Dichte von 2.4 g/cm³

Der "Boden" des Füllraums (bi) liegt bei der Nullstelle von g: x = 0.88.

 

Eingaben:

Ergebnisse:

Das Materialvolumen des Flacons beträgt ca. 63 cm³, sein Gewicht beträgt 150 Gramm.

innere und äußere Randfunktion für doppelwandigen Rotationskörper
Rotationskörper (Flacon)


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