Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse

Für einen Rotationskörper, der durch die Rotation einer Funktion f um die x-Achse eines Koordinatensystems im Intervall [a, b] entsteht, soll das Volumen bestimmt werden.

Rotationskörper (Fass) bei Rotation um x-Achse

Zur Herleitung der Volumenformel zerlegen wir das Intervall [a, b] in n gleiche Teile der Breite ∆x und bilden n innen liegende Scheiben (Zylinder):

Rotationsvolumen um x-Achse (Herleitung)
Rotationsvolumen um x-Achse (Herleitung)
Rotationsvolumen um x-Achse (Herleitung)

Das Volumen Vi der i-ten Scheibe errechnet sich gemäß der Volumenformel für einen Zylinder zu
Vi = π [ f(xi-1) ] ² ∆x.

Das Gesamtvolumen des durch die innenliegenden Scheiben gebildeten Körpers VI ergibt sich somit zu

 

Betrachten wir nun eine Näherung für den Rotationskörper mit n außen liegenden Scheiben:

Rotationsvolumen um x-Achse (Herleitung)
Rotationsvolumen um x-Achse (Herleitung)
Rotationsvolumen um x-Achse (Herleitung)

Das Volumen Vi der i-ten Scheibe beträgt Vi = π [ f(xi) ] ² ∆x. Für den durch die außen liegenden Scheiben gebildeten Körper ergibt sich das Gesamtvolumen VA somit zu

Erhöht man die Anzahl n der Scheiben, nähern sich die Konturen der Scheibenkörper immer mehr der Kontur des durch f erzeugten Rotationskörpers. Für n → ∞ geht die Summe in ein Integral über, es ergibt sich für beide Scheibenkörper ein gemeinsamer Grenzwert - das Volumen des Rotationskörpers:


Mit der Graphing Calculator 3D-Datei Solid of Revolution about x-Axis.gc3  lassen sich außer diversen Maße (s. Grundlagen) auch das Volumen und Gewicht eines Rotationskörpers (genauer: der Wand) sowie sein Füllvolumen Vi bestimmen.

Folgende Größen sind hierzu einzugegeben:

  • f        : äußere Randfunktion
  • g       : innere Randfunktion
  • a , b  : Grenzen der äußeren Randfunktion f
  • ai , bi : Grenzen der inneren Randfunktion g
  • ZE     : Zeichen-(Recheneinheit)
  • ρ       : Materialdichte der Wand

Berechnet werden:

  • Va       : Außenvolumen (erzeugt durch f)
  • Vi        : Innenvolumen (erzeugt durch g)
  • V       : Volumen des Rotationskörpers (Wand)
  • G      : Gewicht des Rotationskörpers (Wand)
Maße bei Volumenbestimmng eines doppelwandigen Rotationskörpers

Die Integrale zur Bestimmung von Va und Vi werden numerisch berechnet (s. Numerische Integration).


Beispiel 1

 

Es sollen Volumen und Gewicht eines Eierbechers aus Glas ermittelt werden. Folgende Größen sind gegeben:

  • f (x) = 1.1 √ (x+2)    (äußere Randfunktion)

  • g (x) = 0.25 x + 1     (innere Randfunktion)
  • Boden bei a = 0.7
  • Öffnung bei b = 5
  • Innerer Boden bei x = 2
  • Glasdichte ρ = 2.2 g/cm³
  • 1 Zeicheneinheit ZE = 1 cm
Rotationskörper (Eierbecher)

Eingaben:                                                          Ergebnisse:

         

 

Das Materialvolumen des Eierbechers beträgt ca. 46 cm³, er wiegt ca. 100 Gramm.

 

Zur Berechnung der Querschnittsfläche des Glaskörpers s. unter Fläche zwischen Funktionen (Beispiel 3).


Beispiel 2

 

Was wäre der schönste Eierbecher ohne ein Ei?

Um ein Ei mathematisch als Rotationskörper zu modellieren, gibt es vielfältige Ansätze. Ich habe mich für folgende Wurzelfunktion entschieden, die die Form eines Eies recht gut wiedergibt:

 

Das Ei liegt im Intervall [0, 6], wobei eine Zeicheneinheit 1 cm beträgt. Als mittlere Dichte für das Ei wird ρ = 1.2 g/cm³ angenommen.

Wie schwer ist das Ei?

 

Da es nur einen äußeren Körper gibt, wird g (x) = 0 gesetzt:

 

 

Das Ei wiegt 61 Gramm. 

Rotationskörper (Ei)


Beispiel 3

 

Für einen kleinen Parfümflacon sind das Materialvolumen und das Gewicht zu bestimmen. Der Flacon wird durch die Rotation zweier Funktionen f und g um die x-Achse eines Koordinatensystems erzeugt:

  • f (x) = - x³ + x                            äußere Randfunktion
  • g(x) = 0.7 √ (- x² + x - 0.1056)  innere Randfunkton (blau)
  • 1 Zeicheneinheit (ZE) entspricht 8 cm
  • der Boden liegt bei x = 0.92, die Öffnung bei x = 0.15
  • das verwendete Acrylglas hat eine Dichte von 2.4 g/cm³

Der "Boden" des Füllraums (bi) liegt bei der Nullstelle von g: x = 0.88.

 

Eingaben:

Ergebnisse:

Das Materialvolumen des Flacons beträgt ca. 63 cm³, sein Gewicht beträgt 150 Gramm.

Rotationskörper (Flacon)


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