Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die y-Achse

Für einen Rotationskörper, der durch die Rotation einer Funktion f im Intervall [a,b] um die y-Achse entsteht und in der Senkrechten durch f(a) und f(b) begrenzt wird, soll das Volumen bestimmt werden. Hierzu sollen zwei unterschiedliche Vorgehensweisen betrachtet werden.


Scheibenmethode (Disc Method)

Bei der Scheibenmethode geht man ähnlich vor wie bei der Volumenbestimmung eines Rotationskörpers, der um die x-Achse rotiert: der Rotationskörper wird hier längs der y-Achse durch Scheiben der Höhe ∆y angenähert; das genäherte Rotationsvolumen ist dann die Summe der Scheibenvolumina.

 

Zur Bestimmung des Volumens der i-ten Scheibe (blau in Grafik) für einen bestimmten yi-Wert benötigt man den dazu zugehörigen Radius xi der Scheibe. Dieser ergibt sich aus der Umkehrfunktion von f:

xi = f -1 (yi).

Somit beträgt das Volumen der i-ten Scheibe

π [ f -1 (yi) ]² ∆y.

 

Lässt man in einem Grenzwertübergang die Scheiben infinitesimal dünn werden, ergibt sich das Volumen Vy des Rotationskörpers zu

 


Man beachte, dass f stetig und monoton sein muss, damit die Umkehrfunktion existiert.

Volumen eines Rotationskörper mit Disc Method
Volumen eines Rotationskörper mit Disc Method
Volumen eines Rotationskörper mit Disc Method
Volumen eines Rotationskörper mit Disc Method

Mit der Substitutionen  xi = f -1 (yi)  und  dy = f ' (x) dx erhält man

 

 

Dieses Integral lässt sich in der Regel viel leichter lösen, da man zur Funktion f nur deren Ableitung f ' bestimmen muss und die meist recht aufwendige Bestimmung der Umkehrfunktion f -1 sowie deren Stammfunktion entfällt. Die Voraussetzung dafür ist natürlich, dass f ' (insbesondere an den Stellen a und b) existiert (s. Beispiel 2 unten).


Schalenmethode (Shell Method)

Bei der Schalenmethode wird im Gegensatz zur Scheibenmethode das Volumen durch Integration in x-Richtung gebildet.

Unterhalb der Funktion f werden dazu im Intervall
[a, b] Schalen (Zylinder) gebildet (blau in Grafik). Die Mantelfläche des i-ten Zylinders ergibt sich somit zu
2 π xi f (xi).

 

Integriert man die Mantelflächen dieser Zylinder im Intervall (a, b), so ergibt sich das Volumen Vs des unterhalb von f liegenden Schalenkörpers

Das endgültige Volumen Vy des Rotationskörpers (weiß in Grafik) ergibt sich dann zu

 

      

Volumen eines Rotationskörper mit Shell Method
Volumen eines Rotationskörper mit Shell Method
Volumen eines Rotationskörper mit Shell Method
Volumen eines Rotationskörper mit Shell Method


Die Graphing Calculator 3D-Datei Solid of Revolution about y-Axis.gc3 plottet einen Rotationskörper mit Rotation um die y-Achse und berechnet Dessen Volumen mit beiden oben beschriebenen Methoden (das Volumen und die Darstellung bei Rotation um die x-Achse kann ebenfalls angezeigt werden).

Für die Disc Method muss die Ableitung manuell eingegeben werden, die Integrale werden numerisch gelöst (s. Numerische Integration).

 

Für die Darstellung des Rotationskörpers bei Rotation um die y-Achse wurde ein "Trick" angewandt
(s. Anhang unten).


Rotationskörper um y-Achse - Beispiel 1

Die Funktion f (x) = - 2 x + 2 mit x aus [0, 1] erzeugt bei Rotation um die y-Achse einen Kegelstumpf, dessen Volumen bestimmt werden soll.

Aus der Geometrie ist bekannt, dass sich für einen Kegelstumpf mit großem Radius R, kleinem Radius r und der Höhe h das Volumen wie folgt berechnen lässt:

Aus der Funktion f ergeben sich R = 1, r = 0.5 und h = 1; somit beträgt das Volumen

Graphing Calculator 3D liefert mit der Disc Method den gleichen Wert VDisc.

 

Für die Shell Method liefert Graphing Calculator 3D die Werte Cyl b = 0, Cyl a = 1/4 π, Vs = 1/3 π und somit mit VShell den gleichen Volumenwert.

________________________________________________________

 

Der volumenmäßig gleiche Kegelstumpf (blau in Grafik) ergibt sich mit der Funktion f (x) = 2 x - 1 im Intervall [0, 1].

 

Für die Shell Method liefert Graphing Calculator 3D die Werte Cyl b = π, Cyl a = 0,

Vs = 5/12 π und somit den gleichen Volumenwert wie beim obigen Kegelstumpf.

Volumen eines Rotationskörpers (Kegelstumpf)
Volumen eines Rotationskörpers (Kegelstumpf)
Volumen eines Rotationskörpers (Kegelstumpf)
Volumen eines Rotationskörpers (Kegelstumpf)


Rotationskörper um y-Achse - Beispiel 2

Die Funktion

mit x aus [1, 3] hat die Form eines nach oben geöffneten Halbkreises (s. Grafik rechts) und bildet bei Rotation um die y-Achse einen halben Torus mit den Radien r = 1 und R = 2.

 

Das Volumen eines Torus (genauer: Kreistorus) beträgt 2 π² R r².

Für den Halbtorus dieses Beispiel ist das Volumen folglich 2 π².

 

Die in Graphing Calculator 3D realisierte Disc Method lässt sich nicht anwenden, da die Ableitung

an den Stellen x = 1 und x = 3 nicht definiert ist.

 

Die Shell Method liefert Cyl b = 9 π, Cyl a = π, Vs = (8-2π) π und somit 2 π² für den halben Torus.

Volumen eines Rotationskörper (Torus) mit Shell Method
Volumen eines Rotationskörper (Torus) mit Shell Method


Rotationskörper um y-Achse - Beispiel 3

Die Funktion f (x) = 4 x4 - 4 x² + 1 (gelb in Grafik) bildet im Intervall
[0, 1] bei Rotation um die y-Achse die "Backform" für einen "Gugelhupf".

 

Die Disc Method liefert mit der Ableitung f ' (x) = 16 x3 - 8 x als Ergebnis für das Volumen 2/3 π, ebenso die Shell Method mit
Cyl b = π, Cyl a = 0 und Vs = 1/3 π.

 

Für die Darstellung der schönen Riefenstruktur beim fertigen Kuchen und  dessen Volumenbestimmung ist Graphing Calculator 3D eher nicht geeignet. Sinnvoller wäre es hier, einen Gugelhupf zu backen und diesen statt einer Volumenbestimmung einem Geschmackstest zu unterziehen  ;-)

Guten Appetit!

Volumen eines Rotationskörpers
Volumen eines Rotationskörpers

Quelle: www.rezeptwelt.de



Anhang:  Darstellung der Rotation um die y-Achse

 

Um die Rotation einer Funktion y = f (x) mit x aus [a, b] um die y-Achse darzustellen,  benötigt man die Umkehrfunktion x= f-1 (y) mit y aus [f(a], f(b)].

 

Ist beispielsweise f (x) = - x² + 1 und das Intervall [a, b] gegeben, kann dies mit Graphing Calculator 3D mittels einer parametrischen Funktion (u = 0 ... 1, v = 0 ... 2π) folgendermaßen realisiert werden:

 


Die entscheidenden Nachteile sind jedoch ...

  • Die Umkehrfunktion zu f muss hergeleitet werden.
  • Diese existiert nur dann, falls f stetig und monoton ist (dies ist der Fall für die obige Funktion f ).
  • Ggf. muss das Intervall [a, b] in geeignete Abschnitte zerlegt werden, in denen f stetig und monoton ist.
  • Wird die y-Achse senkrecht gestellt, sind bei Graphing Calculator 3D nur eingeschränkte Drehbewegungen mit der Maus möglich.

Eine "schnelle, automatische Darstellung" des Rotationskörpers für nicht monotone Funktionen, wie z.B. der "Gugelhupfbackform" (s. Beispiel 3 oben), ist somit nicht möglich.

Daher habe ich folgenden "Trick" angewandt:

  • Der Rotationskörper wird mit einer zylindrischen Funktion rund um die z (!) -Achse erzeugt mit ϕ = 0 ... 2π ; 
    r durchläuft wegen  u = 0 ... 1 alle Werte zwischen a und b,
    z alle Funktionswerte von f zwischen a und b:

 

  • Die Bezeichnung (Labels) der y- und z-Achse werden getauscht (s. Animation):

 

Zwar zeigt die "neue" z-Achse nun in die entgegengesetzte Richtung wie sonst, sie ist aber bezüglich der eigentlichen Aufgabe "Rotationskörper um y-Achse" kaum relevant und wiegt die Vorteile nicht auf:

  • Der Rotationskörper um die y-Achse wird "automatisch" erzeugt.
  • Es sind alle sonst üblichen Drehungen des Koordinaten-systems mit der Maus möglich.
  • Beide Rotationskörper (in Grafik: blau für Rotation um y-Achse, grün für Rotation um x-Achse, a = 0.3 und b = 0.8) können problemlos gleichzeitig dargestellt werden.


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