Gibbs'sches Phänomen
Ein interessanter Effekt - das Gibbs'sche Phänomen (auch "Ringing" genannt) - taucht bei der additiven Synthese von Rechteck-, Puls- und Sägezahnschwingungen auf.
Allgemein bezeichnet man so in der Mathematik das typische Verhalten von Fourierreihen in der Umgebung von Sprungsstellen: entwickelt man eine Fourierreihe für eine unstetige Funktion, wie dies der Fall ist für die zuvor genannten Funktionen, so ergeben sich an den Sprungstellen (Unstetigkeitsstellen) typische Über- und Unterschwinger.
Dieser Fehler ist von prinzipieller Art, d.h. er ließe sich auch nicht vermeiden, wenn man unendlich viele Summanden berücksichtigen würde. Durch eine Erhöhung der Anzahl n der Summanden wird zwar der fehlerhafte zeitliche Bereich enger, nicht jedoch die maximale Abweichung der Über- und Unterschwingungen.
Die folgende Bildsequenz zeigt dies für eine Rechteckschwingung mit der Amplitude 1 für n = 50, n = 100,
n = 200 und n = 400 (Bilder bitte zoomen); das letzte Bild ist eine Ausschnittvergrößerung für n = 400 im blau markierten Bereich um die Sprungstelle.
Es lässt sich zeigen, dass für unendlich viele Fourier-Summenglieder die relative Höhe der Unter- bzw. Überschwingung in einer Richtung bezogen auf die halbe Sprunghöhe einem Grenzwert (s. horizontale blaue Linie im letzten Bild oben) entgegenstrebt [1] [2], der sich errechnet zu
Dieser Wert ird auch als Wilbraham–Gibbs-Konstante bezeichnet; er wird numerisch berechnet.
Somit ergibt sich ein prozentualer Fehler von ca. 18 % (17,89797444... %) der Sprunghöhe.
Reduktion des Gibbs'schen Phänomens
Das Gibbs'sche Phänomen mit seinen Unter-/Überschwingungen an den Sprungstellen (Unstetigkeitsstellen) eines Signals lässt sich zu einem Großteil unterdrücken, indem jeder Summand der Fourierreihe mit der Periode T mit Hilfe der normalisierten sinc-Funktion
gewichtet wird:
Durch Quadrieren der nsinc-Funktion lässt sich das Gibbs'sche Phänomen fast vollständig unterdrücken, wie die folgende Bildsequenz am Beispiel einer Rechteckschwingung und eines Sägezahns - jeweils mit n = 20 (links) und n = 100 (rechts) zeigt.
