Shader-A für allgemeines Polynom

Für ein allgemeines Polynom der Form

d.h. die Koeffizienten aj werden vorgegeben, habe ich den Shader-A für das Programm VOC programmiert (s. unten im Download-Bereich), mit dem sich die Basins of Attraction sowie die Konvergenzgeschwindigkeit mit allen auf meiner Seite vorgestellten Iterationsmethoden (s. Nullstellen komplexer Funktionen) berechnen lassen.

 

Insbesondere erlaubt der Shader-A auch komplexe Koeffizienten.

 

Der maximale Grad n des Polynoms beträgt dabei 8, das Schema lässt sich aber leicht für einen höheren Grad erweitern. Für die bei den Iterationsverfahren benötigte Funktion sowie deren erste und zweite Ableitung gilt somit:

 

p  (z) =  a8z8 + a7z7 + a6z6 + a5z5 + a4z4 + a3z3 + a2z2 + a1z + a0

p ' (z) =  8 a8z7 + 7 a7z6 + 6 a6z5 + 5 a5z4 + 4 a4z3 + 3 a3z2 + 2 a2z + a1

p'' (z) = 56 a8z6 + 42 a7z5 + 30 a6z4 + 20 a5z3 + 12 a4z2 + 6 a3z +  2 a2

 

Außer der manuellen Vorgabe der Koeffizienten a0 bis a8 bietet der Shader (als Gimmick) auch die Möglichkeit der zufälligen Berechnung der Koeffizienten. Gesteuert wird dies mit der Variablen random_method:  

  • random_method = 0 :  manuelle Vorgabe der Koeffizienten und Nullstellen

Hier ein Beispiel für das Polynom z6 + 10 z3 - 8 mit seinen sechs Nullstellen

Bei Vorgabe der Koeffizienten und der Nullstellen A, B, ... des Polynoms können mit
color_scheme = 0  die Basins of Attraction dargestellt werden:


Werden die Nullstellen nicht eingegeben, so können die Basins of Attraction (color_scheme = 0) nicht dargestellt werden, zumindest aber kann mittels color_scheme = 1 oder 2 die Konvergenzgeschwindigkeit berechnet werden.

 

Tipp:  Eine Möglichkeit, sich die Nullstellen einer Funktion berechnen zu lassen, bietet Wolfram|Alpha. In die Eingabezeile tragen SIe dann "roots of Ihre Funktion" ein.

  • random_method = 1 :  die Koeffizienten werden mit einem Pseudo Random Number Generator
                                     
      (kurz: PRNG, s. auch hier)  erzeugt.

Die generierten Zufallszahlen randj liegen im Bereich [-1, 1] und werden mit den Faktoren Ri und Ci auf den jeweils gewünschten Bereich der Koeffizienten ai expandiert: ai = (randjRi ,  randj+1 • Ci ).

Die obige Einstellung erzeugt ein zufälliges Polynom 4. Grades mit vier reellen und einem komplexen Koeffizienten (s. Beispiele unten).

 

Dazu kann für den Startwert Seed  des PRNGs eine ganze Zahl im Bereich 0 ... 10 000 000 eingegeben werden, aus der der PRNG dann die pseudo-zufälligen Koeffizienten a0 bis a8 berechnet. Hierzu kann in der Eingabemaske von VOC der Parameter Bailout genutzt werden:

 

Die eingegebene Zahl (z.B. 47182) erzeugt somit ein Unikat eines Polynoms - es ist der Zahl fest zugeordnet.

Dieses kann dann für die Untersuchung mit verschiedenen Iterationsverfahren und/oder Einfärbungen genutzt werden, ohne dass beim Klicken auf den OK-Button (Start des Shaders) neue Koeffizienten berechnet werden, wie dies mit random_method = 2 der Fall ist.

 

Hier dazu einige Beispiele mit den obigen Vorgaben für Ri und Ci :


  • random_method = 2 :  zufällige Erzeugung der Koeffizienten bei jedem (!) Shader-Start
                                        mittels Klick auf den OK-Button; 
                                        als Startwert für den PRNG wird hier eine von VOC gelieferte Zufallszahl
                                        verwendet

Hinweis: Logischerweise muss bei den beiden Zufallsvarianten für die Variable color_scheme der Wert 1

 oder 2 gewählt werden, da die Nullstellen des Zufallspolynoms ja nicht bekannt sind.

 

Beispiele für mit dem Shader generierte Polynome finden Sie unter Basins of Attraction mit Shader-A.      


Download

Die folgende ZIP-Datei enthält den oben beschriebenen Shader (.CFF-Datei) für das Programm Vision of Chaos sowie die Paletten-Datei BFrain.MAP.